\input style у йъвщфлпн лпнреоуйтхеф ьфпф оедпуфбфпл. Ртпзтбннх дмс нефпдб Нбтубмшй обрйубфш зптбъдп фтхдоее, оп еумй рпдртпзтбннх, пуопчбооха об бмзптйфне~M, упуфбчйфш ч пвэен чйде, поб счйфус геоощн члмбдпн ч мавха вйвмйпфелх рпдртпзтбнн. Нопзпюйумеооще ртйнеоеойс оптнбмшоп тбуртедемеоощи умхюбкощи чемйюйо фтевхаф впмшыпзп лпмйюеуфчб умхюбкощи юйуем, фбл юфп чбцоб улптпуфш йи чщтбвпфлй. Дпрпмойфемшоха йожптнбгйа п нефпде Фекютпечб, б фблце пвъпт оелпфптщи дтхзйи нефпдпч, ихдыйи, лбл феретш чщсуоймпуш, юен пвухцдбенще ъдеуш, нпцоп рпмхюйфш йъ уфбфшй Н.~Нбмметб ({\sl JACM,\/} {\bf 6} (1959), 376--383). {\sl (5)~Тбъопчйдопуфй оптнбмшопзп тбуртедемеойс.\/} Нщ тбуунпфтемй оптнбмшопе тбуртедемеойе у охмечщн утедойн ъобюеойен й уфбодбтфощн пфлмпоеойен, тбчощн едйойге. Еумй $X$~йнееф фблпе тбуртедемеойе, фп х жхолгйй тбуртедемеойс умхюбкопк чемйюйощ $$ Y=\mu+\sigma X \eqno(24) $$ утедоее ъобюеойе тбчоп~$\mu$, б уфбодбтфопе пфлмпоеойе~$\sigma$. Впмее фпзп, еумй~$X_1$ й~$X_2$---оеъбчйуйнще оптнбмшоще умхюбкоще чемйюйощ уп утедойн ъобюеойен охмш й едйойюощн уфбодбтфощн пфлмпоеойен й еумй $$ Y_1=\mu_1+\sigma_1 X_1, \qquad Y_2=\mu_2+\sigma_2(\rho X_1+\sqrt{1-\rho^2}X_2), \eqno(25) $$ фп~$Y_1$ й~$Y_2$---\emph{ъбчйуйнще} умхюбкоще чемйюйощ, тбуртедемеооще уп утедойнй ъобюеойснй~$\mu_1$, $\mu_2$, уфбодбтфощнй пфлмпоеойснй~$\sigma_1$, $\sigma_2$ й лпьжжйгйеофпн лпттемсгйй~$\rho$. (Пвпвэеойе об умхюбк~$n$ ретенеоощи ун.~ч~хрт.~13.) \section{D.~Ьлурпоеогйбмшопе тбуртедемеойе}. Дтхзпк чбцощк чйд умхюбкощи чемйюйо---чемйюйощ у \emph{ьлурпоеогйбмшощн тбуртедемеойен.} Фблйе умхюбкоще чемйюйощ вщчбаф охцощ ч ъбдбюби, зде тбуунбфтйчбефус "чтенс рпсчмеойс". Обртйнет, еумй тбдйпблфйчопе чеэеуфчп йъмхюбеф ч утедоен лбцдще $\mu$~уелход пдох бмшжб-юбуфйгх, фп ртпнецхфлй чтенеой нецдх дчхнс рпумедпчбфемшощнй чщмефбнй юбуфйг йнеаф ьлурпоеогйбмшопе тбуртедемеойе уп утедойн ъобюеойен~$\mu$. Ьфп тбуртедемеойе пртедемсефус жптнхмпк $$ F(x)=1-e^{-x/\mu}, \rem{$x\ge0$.} \eqno(26) $$ Пфуадб умедхеф, юфп еумй $X$~йнееф ьлурпоеогйбмшопе тбуртедемеойе уп утедойн ъобюеойен~$1$, фп $\mu X$~рпдюйосефус ьлурпоеогйбмшопнх тбуртедемеойа уп утедойн~$\mu$. Рпьфпнх дпуфбфпюоп тбуунпфтефш умхюбк~$\mu=1$. Пвщюоп йурпмшъхафус фтй нефпдб. {\sl (1)~Мпзбтйжнйюеулйк нефпд.\/} Суоп, юфп~$y=F(x)=1-e^{-x}$ нпцоп ртедуфбчйфш ч чйде~$x=F^{-1}(y)=-\ln(1-y)$. Рпьфпнх, чумедуфчйе %% 142 уппфопыеойс~(6), чемйюйоб~$-\ln(1-U)$ йнееф ьлурпоеогйбмшопе тбуртедемеойе. Фбл лбл $1-U$~тбуртедемеоб тбчопнетоп, еумй~$U$---тбчопнетоп тбуртедемеоопе умхюбкопе юйумп, фп умхюбкобс чемйюйоб $$ X=-\ln U \eqno(27) $$ тбуртедемеоб ьлурпоеогйбмшоп уп утедойн ъобюеойен, тбчощн едйойге. (Ч ртпзтбннби умедхеф йъвезбфш умхюбс~$U=0$.) {\sl (2)~Нефпд умхюбкопк нйойнйъбгйй.\/} Умедхаэйк бмзптйфн (Дц.~Нбтубмшс) чщюйумсеф ъобюеойс ьлурпоеогйбмшоп тбуртедемеоопк умхюбкопк чемйюйощ веъ йурпмшъпчбойс рпдртпзтбннщ мпзбтйжнб. \alg E.(Ьлурпоеогйбмшопе тбуртедемеойе уп утедойн~$1$.) Йурпмшъхафус фбвмйгщ лпоуфбоф~$P[j]$, $Q[j]$ дмс~$j\ge 1$, пртедемеооще жптнхмбнй $$ P[j]=1-{1\over e^j}, \quad Q[j]={1\over e-1}\left({1\over1!}+{1\over2!}+\cdots+{1\over j!}\right). \eqno(28) $$ Дмйоб фбвмйг пзтбойюйчбефус ъобюеойен нблуйнбмшопк дтпвй, лпфптха нпцоп тбънеуфйфш ч нбыйоопн умпче. \st[Обюбмп дтпвопк юбуфй.] Хуфбопчйфш~$j\asg1$. Чщтбвпфбфш умхюбкоще юйумб~$U_0$ й~$U_1$ й хуфбопчйфш~$X\asg -U_1$. \st[Нйойнйъбгйс ъблпоюеоб?] Еумй~$U_0U_j$, хуфбопчйфш~$X\asg U_j$. Четохфшус пвтбфоп л ыбзх~\stp{2}. \st[Обюбмп гемпк юбуфй.] (Нщ хце чщюйумймй дтпвоха юбуфш плпоюбфемшопзп теъхмшфбфб, $X$, й дпмцощ дпвбчйфш л оенх уппфчефуфчхаэее гемпе юйумп, юфпвщ ъблпоюйфш чщюйумеойс.) Чщтбвпфбфш опчпе умхюбкопе юйумп~$U$ й хуфбопчйфш~$j\asg 1$. \st[Удембоб мй рпртбчлб?] Еумй~$UU\ge (1-p)^n$, б ьфп ртпйуипдйф у четпсфопуфша~$p(1-p)^{n-1}$, юфп й фтевпчбмпуш рплбъбфш. Юбуфощк умхюбк~$p=1/2$ еэе мезюе нпдемйтпчбфш об дчпйюопк нбыйое, фбл лбл жптнхмб~(34) ртечтбэбефус ч~$N=\ceil{-\log_2 U}$, ф.~е.~$N$ об едйойгх впмшые, юен юйумп ретчщи охмечщи тбътсдпч ч дчпйюопн ртедуфбчмеойй~$U$. {\sl (2)~Вйопнйбмшопе тбуртедемеойе~$(t, p)$.\/} Еумй оелпфптпе упвщфйе ртпйуипдйф у четпсфопуфша~$p$, й нщ ртпчпдйн $t$~оеъбчйуйнщи йурщфбойк, рпмопе юйумп~$N$ ртпйуипдсэйи ртй ьфпн упвщфйк тбчоп~$n$ у четпсфопуфша~$\perm{t}{n}p^n(1-p)^{t-n}$ (ун.~р.~1.2.10). Дмс ьфпзп тбуртедемеойс оеф лблпзп-мйвп ртснпзп нефпдб, бобмпзйюопзп~(34). Пдоблп нщ нпзмй вщ йурпмшъпчбфш фп пвуфпсфемшуфчп, юфп еумй $N_1$~йнееф вйопнйбмшопе тбуртедемеойе~$(t_1, p)$ й еумй, оеъбчйуйнп, $N_2$~йнееф вйопнйбмшопе тбуртедемеойе~$(t_2, p)$, фп $N_1+N_2$~йнееф вйопнйбмшопе тбуртедемеойе~$(t_1+t_2, p)$. Лпздб $t$~чемйлп, %%146 вйопнйбмшопе тбуртедемеойе ртйвмйцеооп прйущчбефус оптнбмшощн тбуртедемеойен уп утедойн~$tp$ й утедоелчбдтбфйюощн пфлмпоеойен~$\sqrt{tp(1-p)}$. Ун. фблце ртйен, тбуунпфтеоощк ч хрт.~25. {\sl (3)~Тбуртедемеойе Рхбуупоб\/} уп утедойн ъобюеойен~$\mu$. Ьфп тбуртедемеойе фбл це учсъбоп у ьлурпоеогйбмшощн тбуртедемеойен, лбл вйопнйбмшопе у зепнефтйюеулйн. Поп ибтблфетйъхеф юйумп тебмйъбгйй ч едйойгх чтенеой упвщфйк, лбцдпе йъ лпфптщи нпцеф ртпйъпкфй ч мавпк нпнеоф. Обртйнет, юйумп йъмхюбенщи ч уелходх бмшжб-юбуфйг йнееф тбуртедемеойе Рхбуупоб. Четпсфопуфш фпзп, юфп~$N=n$, тбчоб $$ e^{-\mu}\mu^n/n!, \rem{$n\ge0$.} \eqno(35) $$ Еумй~$N_1$, $N_2$---оеъбчйуйнще рхбуупопчулйе умхюбкоще чемйюйощ уп утедойнй~$\mu_1$, $\mu_2$, фп четпсфопуфш фпзп, юфп~$N_1+N_2=n$, тбчоб $$ \sum_{0\le k \le n}{e^{-\mu_1}\mu_1^k\over k!} {e^{-\mu_2}\mu_2^{n-k}\over (n-k)!} ={e^{-(\mu_1+\mu_2)}(\mu_1+\mu_2)^n\over n!}. $$ Фблйн пвтбъпн, $N_1+N_2$~йнееф тбуртедемеойе Рхбуупоб уп утедойн ъобюеойен~$(\mu_1+\mu_2)$. Ртедрпмпцйн, юфп нщ ипфйн обрйубфш пвэха рпдртпзтбннх, чщтбвбфщчбаэха ъобюеойс рхбуупопчулйи умхюбкощи чемйюйо уп утедойн~$\mu$, зде $\mu$~ъбдбефус ртй чипде ч рпдртпзтбннх. \alg Q.(Тбуртедемеойе Рхбуупоб у ртпйъчпмшощн~$\mu$.) \st[Чщюйумйфш ьлурпоеофх.] Ртйучпйфш~$p\asg e^{-\mu}$ й~$N\asg0$, $q\asg1$. (Ипфс $e^{-\mu}$~пвщюоп чщюйумсефус у рпнпэша бтйжнефйлй у рмбчбаэек фпюлпк у ртйчмеюеойен уфбодбтфопк рпдртпзтбннщ, чпънпцоп, тбъхноек рпмшъпчбфшус бтйжнефйлпк у жйлуйтпчбоопк фпюлпк, ртбчймшоп чщвтбч нбуыфбв й плтхзмеойе дмс рпумедхаэйи претбгйк у~$p$ й~$q$.) \st[Рпмхюйфш умхюбкопе юйумп.] Чщтбвпфбфш умхюбкопе юйумп~$U$, тбчопнетоп тбуртедемеоопе нецдх~$0$ й~$1$. \st[Хнопцйфш.] Хуфбопчйфш~$q\asg qU$. \st[Ртпчетйфш, неошые мй~$e^{-\mu}$.] Еумй~$q\ge p$, хуфбопчйфш~$N\asg N+1$ й четохфшус л ыбзх~\stp{2}. Ч ртпфйчопн умхюбе бмзптйфн ъблбоюйчбефус чщчпдпн~$N$. \algend Юфпвщ дплбъбфш уртбчедмйчпуфш нефпдб, ъбнефйн, юфп оеъбчйуйнще тбчопнетоп тбуртедемеооще умхюбкоще чемйюйощ хдпчмефчптсаф хумпчйсн $$ U_1\ge p, \quad U_1U_2\ge p, \quad, \ldots, \quad U_1U_2\ldots U_n\ge p, \quad U_1U_2\ldots U_{n+1}

0$, четохфшус л ыбзх~\stp{2}, ч ртпфйчопн умхюбе бмзптйфн ъблбоюйчбефус. \algend Юфпвщ йурпмшъпчбфш ьфпф бмзптйфн, нщ дпмцощ упуфбчйфш урегйбмшоще ртпзтбннщ дмс юбуфощи ъобюеойк~$\mu$, ъбдбоощи ч фбвмйге~$M[1]$, $M[2]$,~\dots, $M[n]$. Обртйнет, нщ нпзмй вщ ртйосфш~$n=10$, фпздб $$ \vcenter{\halign{ \hfil$#$&${}#$\hfil\bskip&&\bskip$#$\hfil\bskip\cr j&=1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\cr M[j]&=2^{-15} & 2^{-12} & 2^{-9} & 2^{-6} & 2^{-3} & 2^{-1} & 1 & 2 & 4 & \hfill 8 \cr }} \eqno(36) $$ %% 148 Ьфпф нефпд оеьжжелфйчео дмс впмшыйи ъобюеойк~$\mu$, улбцен~$\mu\ge50$. Ртй~$\mu0$, тбчоб~$1-e^{-\mu}$, ф.~е.\ неошые~$1\over 32\,000$. Тбуртедемеойе Рхбуупоб дмс нбмщи ъобюеойк~$\mu$ нпдемйтпчбфш ютеъчщюбкоп мезлп, фбл лбл дмс чуеи ртблфйюеулйи гемек $N$~вхдеф дпчпмшоп нбмп. Фпмшлп дмс тбуртедемеойк у~$M[j]=4$ й~$8$ йъ ртйчедеоопзп чщые урйулб ъобюеойк рпфтевхафус впмшыйе фбвмйгщ ртй чщрпмоеойй ыбзб~K3. Дмс впмшыйи ъобюеойк~$\mu$ Бтеоу ртедмпцйм ьжжелфйчощк, оп дпчпмшоп умпцощк нефпд рптсдлб~$\sqrt{\mu}$. Езп ртпгедхтб демйф рхбуупопчулпе тбуртедемеойе об дче юбуфй, пдоб йъ лпфптщи обрпнйобеф тбчопведтеоощк фтехзпмшойл. \excercises \ex[10] Лбл чщ ртедмпцйфе чщтбвбфщчбфш умхюбкоще юйумб, тбчопнетоп тбуртедемеооще нецдх умхюбкощнй юйумбнй~$\alpha$ й~$\beta$ ($\alpha<\beta$)? \ex[M16] Ртедрпмбзбс, юфп~$mU$---умхюбкопе гемпе юйумп нецдх~$0$ й~$m-1$, обкдйфе \emph{фпюоха} четпсфопуфш фпзп, юфп~$\floor{kU}=r$, еумй~$0\le r < k$. Утбчойфе теъхмшфбф у фтевхаэекус четпсфопуфша~$1/k$. \rex[14] Пвухдйфе, юфп рпмхюйфус, еумй фтблфпчбфш~$U$ лбл гемпе юйумп й чщтбвбфщчбфш йъ оезп умхюбкопе гемпе нецдх~$0$ й~$k-1$, \emph{демс}~$U$ об~$k$ чнеуфп ртедмпцеоопзп ч фелуфе хнопцеойс. Фблйн пвтбъпн, (1) умедхеф йънеойфш фбл: % ртйдефус уфбчйфш CR, фбл лбл фплеощ лпогб уфтпл хце ъбупубощ ч бтзхнеофе % у лбфезптйек оеблфйчощк уйнчпм $$ \vbox{ \mixcode ENTA & 0 \cr LDX & U \cr DIV & K \cr \endmixcode } $$ Теъхмшфбф плбцефус ч тезйуфте~$X$. Иптпыйк мй ьфп нефпд? \ex[Н20] Дплбцйфе пвб уппфопыеойс ч~(7). \rex[21] Ртедмпцйфе ьжжелфйчощк нефпд чщюйумеойс умхюбкопк чемйюйощ у тбуртедемеойен~$px+qx^2+rx^3$, зде~$p\ge0$, $q\ge0$, $r\ge0$ й~$p+q+r=1$. \rex[ЧН21] Чемйюйоб~$X$ чщюйумсефус умедхаэйн нефпдпн. {\medskip\narrower {\sl "Ыбз~1.\/}~Чщтбвпфбфш дчб умхюбкощи юйумб~$U$, $V$. % {\sl Ыбз~2.\/}~Еумй~$U^2+V^2\ge1$, четохфшус л ыбзх~1, йобюе хуфбопчйфш~$X\asg U$." \medskip} \noindent Лблпчб жхолгйс тбуртедемеойс~$X$? Лбл юбуфп вхдеф чщрпмосфшус ыбз~1? (Пртедемйфе утедоее й утедоелчбдтбфйюопе пфлмпоеойе.) \ex[M18] ПвRсуойфе, рпюенх ч нефпде Нбтубмшй дмс оптнбмшощи умхюбкощи чемйюйо цембойе чщвтбфш~$p_j$ лтбфощнй~$1/256$ ртйчпдйф л жптнхме~$p_j=\floor{64 f(j/4)}/256$, $1\le j \le 12$. \ex[10] Ъбюен пупвп чщдемсфш хълйе ртснпхзпмшойлй~$f_{13}$,~\dots, $f_{24}$ ч нефпде Нбтубмшй обтбчое у впмшыйнй~$f_1$,~\dots, $f_{12}$? (Рпюенх ьфп мхюые, юен пвRедйоеойе лбцдпк рбтщ~$(f_1, f_{13})$, $(f_2, f_{14})$,~\dots{} ч пдйо впмшыпк ртснпхзпмшойл?) \ex[ЧН10] Рпюенх лтйчбс~$f(x)$ об тйу.~9 чщрхлмб ччети ртй~$x<1$ й чойъ дмс~$x>1$? \ex[ЧН21] Чщчедйфе жптнхмщ дмс~$a_j$, $b_j$ ч уппфопыеойй~(20). Рплбцйфе фблце, юфп~$E[j]=16/j$, еумй~$1\le j \le 4$; $E[j]=1/(e^{j/16-1/32}-1)$, еумй~$5\le j \le 12$. %% 149 \rex[ЧН27] Дплбцйфе, юфп ыбзй~M8--M9 ч бмзптйфне~M чщтбвбфщчбаф ъобюеойе умхюбкопк чемйюйощ, уппфчефуфчхаэек ичпуфх оптнбмшопзп тбуртедемеойс, ф.~е.\ ртй~$x\ge3$ четпсфопуфш фпзп, юфп~$X$ уппфопыеойен~$V_{n+1}=4V_n\times(1-V_n)$. Феретш, еумй чщюйумеойс дембафус бвупмафоп фпюоп, теъхмшфбф йнееф тбуртедемеойе~$\sin^2\pi U$, зде~$U$---тбчопнетоп тбуртедемеоопе умхюбкопе юйумп. Дтхзйнй умпчбнй, жхолгйс тбуртедемеойс фблпчб: $$ F(x)={1\over \sqrt{2\pi}}\int_0^x {dx \over \sqrt{x(1-x)}}. $$ Ч убнпн деме, еумй нщ обрйыен~$V_n=\sin^2 \pi U_n$, фп суоп, юфп~$U_{n+1}=(2U_n)\bmod 1$. Й йъ фпзп, юфп рпюфй чуе декуфчйфемшоще юйумб йнеаф умхюбкопе дчпйюопе ртедуфбчмеойе (ун.~\S~3.5), умедхеф, юфп рпумедпчбфемшопуфш~$U_n$ тбчопнетоп тбуртедемеообс. Оп еумй чщюйумеойе~$V_n$ ртпйъчпдйфус у лпоеюопк фпюопуфша, ьфй бтзхнеофщ, плбъщчбафус оечетощнй, фбл лбл улптп нщ обюйобен йнефш демп у ыхнпн пф пыйвпл плтхзмеойс (von Neumann, {\sl Collected Works,\/} Vol.~V, pp.~768--770). Ртпчедйфе фептефйюеулпе й ьлуретйнеофбмшопе (ртй тбъощи ъобюеойси~$V_0$) йуумедпчбойе рпумедпчбфемшопуфй~$\$, пртедемеоопк чщые, лпздб чщюйумеойс ртпчпдсфус у лпоеюопк фпюопуфша. Рпипце мй тбуртедемеойе об пцйдбенпе? Нпцоп мй лбл-ойвхдш йурпмшъпчбфш ьфй юйумб? \ex[Н25] Рхуфш $X_1$, $X_2$~\dots, $X_5$---дчпйюоще умпчб, б лбцдщк йъ дчпйюощи тбътсдпч оеъбчйуйнп ртйойнбеф ъобюеойе~$0$ ймй~$1$ у четпсфопуфша~$1/2$. Лблпчб четпсфопуфш фпзп, юфп ч дбоопк рпъйгйй теъхмшфбф~$X_1\lor (X_2\land (X_3\lor (X_4 \land X_5)))$ упдетцйф~$1$. Удембкфе пвпвэеойе. %% 151 \bye