\input style
\chapnotrue\chapno=4\subchno=0
\subchap{позиционные системы счисления} %%4.1
тО, КАКИМ ОБРАЗОМ МЫ ВЫПОЛНЯЕМ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ, ТЕСНО СВЯЗАНО С
ТЕМ, КАКИМ ОБРАЗОМ МЫ ПРЕДСТАВЛЯЕМ ЧИСЛА, С КОТОРЫМИ РАБОТАЕМ; ПОЭТОМУ
НАШЕ ИЗУЧЕНИЕ АРИФМЕТИКИ ЕСТЕСТВЕННО НАЧАТЬ С ОБСУЖДЕНИЯ ПРИНЦИПИАЛЬНЫХ
СПОСОБОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ.

пОЗИЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ С \emph{ОСНОВАНИЕМ} (ИЛИ \emph{ПО ОСНОВАНИЮ})
$b$ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПРАВИЛОМ
\EQ[1]{
(\ldots{}a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2}\ldots)_b=\ldots+a_3b^3+a_2b^2+a_1b^1+a_0+a_{-1}b^{-1}+a_{-2}b^{-2}+\ldots;
}
НАПРИМЕР, $(530.3)_6=5\cdot6^2+2\cdot6^1+0+3\cdot6^{-1}=192{1\over2}$.
нАША ТРАДИЦИОННАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ---ЭТО, РАЗУМЕЕТСЯ,
ТОТ ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ, КОГДА $b$~РАВНО ДЕСЯТИ И КОГДА ЗНАЧЕНИЯ~$a$
ВЫБИРАЮТСЯ ИЗ "ДЕСЯТИЧНЫХ ЦИФР"~$0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$,
$8$, $9$; В ЭТОМ СЛУЧАЕ ИНДЕКС~$b$ В~\eqref[1] МОЖНО ОПУСКАТЬ.

пРОСТЕЙШЕЕ ОБОБЩЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПОЛУЧАЕТСЯ, КОГДА В
КАЧЕСТВЕ~$b$ БЕРУТ ЛЮБОЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО, БОЛЬШЕЕ ЕДИНИЦЫ, И ЧИСЛА~$a$---ЭТО
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА ИЗ ИНТЕРВАЛА~$0\le a_k<b$. тАК ПОЛУЧАЮТСЯ СТАНДАРТНЫЕ
ДВОИЧНАЯ~($b=2$), ТРОИЧНАЯ~($b=3$), ЧЕТВЕРИЧНАЯ~($b=4$),
ПЯТЕРИЧНАЯ~($b=5$),~\dots{} СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. бОЛЕЕ ОБЩО, В КАЧЕСТВЕ~$b$
МОЖНО БЫЛО БЫ ВЗЯТЬ ПРОИЗВОЛЬНОЕ ЧИСЛО, А ЧИСЛА~$a$ ВЫБИРАТЬ ИЗ
ПРОИЗВОЛЬНОГО ЗАРАНЕЕ ЗАДАННОГО МНОЖЕСТВА ЧИСЕЛ; КАК МЫ УВИДИМ, ЭТО
ПРИВОДИТ К НЕКОТОРЫМ ИНТЕРЕСНЫМ СИТУАЦИЯМ.

тОЧКА, СТОЯЩАЯ МЕЖДУ~$a_0$ И~$a_{-1}$ В~\eqref[1], НАЗЫВАЕТСЯ
\emph{ПОЗИЦИОННОЙ} (ИЛИ \emph{РАЗДЕЛИТЕЛЬНОЙ}) ТОЧКОЙ. (в СЛУЧАЕ~$b=10$
ЕЕ НАЗЫВАЮТ ТАКЖЕ ДЕСЯТИЧНОЙ ТОЧКОЙ, В СЛУЧАЕ~$b=2$---ДВОИЧНОЙ ТОЧКОЙ
И~Т.~Д.) в ЕВРОПЕЙСКИХ СТРАНАХ\note{1}%
{кРОМЕ аНГЛИИ.---{\sl пРИМ. ПЕРЕВ.\/}} ВМЕСТО ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ
ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЮТ ЗАПЯТУЮ\note{2}%
{тОЧКА ВМЕСТО ЗАПЯТОЙ ПОСТЕПЕННО ВХОДИТ В УПОТРЕБЛЕНИЕ И У НАС В СВЯЗИ С
РАСПРОСТРАНЕНИЕМ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ЯЗЫКОВ ПРОГРАММИРОВАНИЯ
"АНГЛОСАКСКОГО ПРОИСХОЖДЕНИЯ" ТИПА алгол, фортран ИЛИ пл/1.---{\sl пРИМ. ПЕРЕВ.\/}}.

чИСЛА~$a$ В~\eqref[1] НАЗЫВАЮТ \emph{ЦИФРАМИ} ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. цИФРУ~$a_k$ С
Б\'ОЛЬШИМ~$k$ НАЗЫВАЮТ "БОЛЕЕ ЗНАЧИМОЙ", ЧЕМ ЦИФРУ~$a_k$  С МЕНЬШИМ~$k$;
СООТВЕТСТВЕННО САМУЮ ЛЕВУЮ (\emph{ВЕДУЩУЮ}, ИЛИ \emph{ГОЛОВНУЮ}) ЦИФРУ
НАЗЫВАЮТ \emph{НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМОЙ ЦИФРОЙ,} А САМУЮ ПРАВУЮ (\emph{ХВОСТОВУЮ})---%
%% 202
\emph{НАИМЕНЕЕ ЗНАЧИМОЙ}. в СТАНДАРТНОЙ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ ДВОИЧНЫЕ
ЦИФРЫ ЧАСТО НАЗЫВАЮТ \emph{БИТАМИ}. в СТАНДАРТНОЙ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ
СИСТЕМЕ (С ОСНОВАНИЕМ ШЕСТНАДЦАТЬ) ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫЕ ЦИФРЫ ОТ НУЛЯ ДО
ПЯТНАДЦАТИ ОБОЗНАЧАЮТ ОБЫЧНО ТАК:
\EQ{
 |0|, |1|, |2|, |3|, |4|, |5|, |6|, |7|, |8|, |9|, |A|, |B|, |C|, |D|, |E|, |F|.
}

иСТОРИЯ РАЗВИТИЯ СПОСОБОВ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ---ЭТО УВЛЕКАТЕЛЬНЕЙШАЯ ПОВЕСТЬ,
ДЕЙСТВИЕ КОТОРОЙ ПРОИСХОДИТ ПАРАЛЛЕЛЬНО С РАЗВИТИЕМ САМОЙ ЦИВИЛИЗАЦИИ.
рАССМАТРИВАЯ, ОДНАКО, ЭТУ ИСТОРИЮ ВО ВСЕХ ПОДРОБНОСТЯХ, МЫ НЕДОПУСТИМО
ДАЛЕКО ОТОШЛИ БЫ ОТ НАШЕЙ ГЛАВНОЙ ТЕМЫ; ТЕМ НЕ МЕНЕЕ БУДЕТ ПОЛЕЗНО ДАТЬ
НАБРОСОК ОСНОВНЫХ ЕЕ МОМЕНТОВ.

нАИБОЛЕЕ РАННИЕ СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧИСЕЛ, КОТОРЫЕ ДО СИХ ПОР МОЖНО
НАБЛЮДАТЬ В ПРИМИТИВНЫХ ЦИВИЛИЗАЦИЯХ, ОСНОВАНЫ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ГРУПП
ПАЛЬЦЕВ ИЛИ КУЧЕК КАМНЕЙ И~Т.~П., ОБЫЧНО С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СОГЛАШЕНИЯМИ
ОТНОСИТЕЛЬНО ЗАМЕНЫ НЕКОТОРОЙ БОЛЬШОЙ КУЧКИ ИЛИ ГРУППЫ, СКАЖЕМ ИЗ ПЯТИ ИЛИ
ДЕСЯТИ ОБRЕКТОВ, ОДНИМ ОБRЕКТОМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА ИЛИ РАСПОЛОЖЕННЫМ В
СПЕЦИАЛЬНОМ МЕСТЕ. пОДОБНЫЕ СИСТЕМЫ ЕСТЕСТВЕННО ПРИВОДЯТ К НАИБОЛЕЕ РАННИМ
СПОСОБАМ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В ПИСЬМЕННОЙ ФОРМЕ, ТАКИМ, КАК ЕГИПЕТСКИЕ,
ВАВИЛОНСКИЕ, ГРЕЧЕСКИЕ\note{1}%
{к ГРЕЧЕСКОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЕ ВОСХОДЯТ И СТАРОСЛАВЯНСКИЕ
ЧИСЛОВЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИСПОЛЬЗОВАВШИЕСЯ ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ В ХРОНОЛОГИЧЕСКИХ
ЦЕЛЯХ.---{\sl пРИМ. ПЕРЕВ.\/}},
КИТАЙСКИЕ И РИМСКИЕ ЧИСЛА, НО ЭТИ ОБОЗНАЧЕНИЯ ЧРЕЗВЫЧАЙНО НЕУДОБНЫ ДЛЯ
ВЫПОЛНЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ, ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ПРОСТЕЙШИХ СЛУЧАЕВ.

пРОВОДИВШИЕСЯ ИСТОРИКАМИ МАТЕМАТИКИ В ДВАДЦАТОМ СТОЛЕТИИ ШИРОКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ ДРЕВНИХ КЛИНОПИСНЫХ ТАБЛИЧЕК, НАЙДЕННЫХ АРХЕОЛОГАМИ НА
бЛИЖНЕМ вОСТОКЕ, ПОКАЗАЛИ, ЧТО ВАВИЛОНЯНЕ ПРИМЕНЯЛИ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ ДВЕ
РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ. чИСЛА, ИСПОЛЬЗОВАВШИЕСЯ ДЛЯ
ПОВСЕДНЕВНЫХ ДЕЛОВЫХ ЗАМЕТОК, ЗАПИСЫВАЛИСЬ ПРИ ПОМОЩИ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ОСНОВАННЫХ НА ГРУППИРОВАНИИ ПО ДЕСЯТКАМ, СОТНЯМ И~Т.~Д., УНАСЛЕДОВАННЫХ ОТ
БОЛЕЕ РАННИХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ мЕСОПОТАМИИ; БОЛЬШИЕ ЧИСЛА ТРЕБОВАЛИСЬ ЗДЕСЬ
РЕДКО. кОГДА ЖЕ ВАВИЛОНСКИМ МАТЕМАТИКАМ ПРИХОДИЛОСЬ РАССМАТРИВАТЬ БОЛЕЕ
ТРУДНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ОНИ ШИРОКО ПРИМЕНЯЛИ ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНУЮ
ПОЗИЦИОННУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ (ПО ОСНОВАНИЮ ШЕСТЬДЕСЯТ), КОТОРАЯ БЫЛА
ХОРОШО РАЗВИТА УЖЕ КО ВРЕМЕНИ НЕ ПОЗДНЕЕ 1750~Г.\ ДО~Н.~Э. эТА ЧИСЛОВАЯ
СИСТЕМА БЫЛА УНИКАЛЬНОЙ В ТОМ ОТНОШЕНИИ, ЧТО ОНА БЫЛА ФАКТИЧЕСКИ ФОРМОЙ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ С ОПУЩЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ; НУЖНЫЙ
МАСШТАБНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ, Т.~Е.\ СТЕПЕНЬ ШЕСТИДЕСЯТИ, СЛЕДОВАЛО ОПРЕДЕЛЯТЬ
ИЗ КОНТЕКСТА ТАК ЧТО НАПРИМЕР, ВСЕ ЧИСЛА ИЗ СПИСКА $2$, $120$, $7200$,
$1/30$ И~Т.~Д.\ ЗАПИСЫВАЛИСЬ
%% 203
ОДИНАКОВЫМ ОБРАЗОМ. эТА СИСТЕМА БЫЛА В ОСОБЕННОСТИ УДОБНА ДЛЯ
ВЫПОЛНЕНИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ТАБЛИЦ, ТАК
КАК ВЫРАВНИВАНИЕ ПОРЯДКОВ НИКАК НЕ ВЛИЯЛО НА ОТВЕТ; ТА ЖЕ ИДЕЯ РЕАЛИЗОВАНА
НЫНЕ В ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКЕ. пРИМЕРАМИ ЭТОЙ ВАВИЛОНСКОЙ СИСТЕМЫ
ЗАПИСИ МОГУТ СЛУЖИТЬ СЛЕДУЮЩИЕ ИЗВЛЕЧЕНИЯ ИЗ ДРЕВНИХ ТАБЛИЦ:
КВАДРАТ~$30$ ЕСТЬ~$15$ (ЧТО МОЖНО ПРОЧИТАТЬ ТАКЖЕ КАК "КВАДРАТ~$1/2$ РАВЕН~$1/4$");
ЧИСЛО, ОБРАТНОЕ К~$81=(1\ 21)_{60}$, РАВНО~$(44\ 26\ 40)_{60}$; КВАДРАТ
ЭТОГО ПОСЛЕДНЕГО ЧИСЛА РАВЕН~$(32\ 55\ 18\ 31\ 6\ 40)_{60}$. у ВАВИЛОНЯН
БЫЛ ОСОБЫЙ СИМВОЛ ДЛЯ НУЛЯ, НО ИЗ-ЗА ИХ ИДЕОЛОГИИ ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКИ НУЛЬ
ИСПОЛЬЗОВАЛСЯ ТОЛЬКО ВНУТРИ ЧИСЕЛ И НИКОГДА В КРАЙНЕЙ ПРАВОЙ ПОЗИЦИИ ДЛЯ
ОБОЗНАЧЕНИЯ МАСШТАБА. оБ ИНТЕРЕСНОЙ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ РАННЕЙ ВАВИЛОНСКОЙ
МАТЕМАТИКИ МОЖНО ПРОЧИТАТЬ У о.~нОЙГЕБАУЭРА [The exact sciences in
antiquity, Princeton University Press, 1952] И б.~л.~вАН~ДЕР~вАРДЕНА
[пРОБУЖДАЮЩАЯСЯ НАУКА, фИЗМАТГИЗ, 1959].

пОЗИЦИОННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ, ВО-ВИДНМОМУ,
ВПЕРВЫЕ БЫЛО РАЗВИТО ИНДЕЙЦАМИ ПЛЕМЕНИ МАЙЯ В цЕНТРАЛЬНОЙ аМЕРИКЕ ОКОЛО
2000~ЛЕТ ТОМУ НАЗАД; ИХ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ С ОСНОВАНИЕМ~$20$ БЫЛА
ДОСТАТОЧНО ВЫСОКОРАЗВИТА, ОСОБЕННО В ОТНОШЕНИИ ЗАПИСИ АСТРОНОМИЧЕСКИХ
ФАКТОВ И КАЛЕНДАРНЫХ ДАТ. оДНАКО ИСПАНСКИЕ ЗАВОЕВАТЕЛИ УНИЧТОЖИЛИ ПОЧТИ
ВСЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ И НАУЧНЫЕ ТЕКСТЫ МАЙЯ, ПОЭТОМУ МЫ НЕ ЗНАЕМ, НАСКОЛЬКО
ДАЛЕКО ПРОДВИНУЛИСЬ ОНИ В АРИФМЕТИКЕ; НАЙДЕНЫ НЕКОТОРЫЕ ТАБЛИЦЫ
УМНОЖЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОГО НАЗНАЧЕНИЯ, НО НЕИЗВЕСТНО НИКАКИХ ПРИМЕРОВ ДЕЛЕНИЯ
[СМ.\ J.~Eric~S.~Thompson, {\sl Contributions to Amer. Antropology and History,\/}
Carnegie Inst.\ of Washington, {\bf 7}  (1942), 37--62].

зА НЕСКОЛЬКО ВЕКОВ ДО НОВОЙ ЭРЫ ГРЕКИ ПРИМЕНЯЛИ ДЛЯ СВОИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ РАННЮЮ РАЗНОВИДНОСТЬ АБАКИ, В КОТОРОЙ ИСПОЛЬЗОВАЛИСЬ ПЕСОК
И/ИЛИ ГАЛЬКА НА ДОСКЕ, ИМЕВШЕЙ РЯДЫ ИЛИ СТОЛБЦЫ, ЕСТЕСТВЕННЫМ ОБРАЗОМ
СООТВЕТСТВОВАВШИЕ НАШЕЙ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ. нАМ, ВОЗМОЖНО, ПОКАЖЕТСЯ
УДИВИТЕЛЬНЫМ, ЧТО ТОТ ЖЕ САМЫЙ ПОЗИЦИОННЫЙ ПРИНЦИП НЕ БЫЛ ПРИМЕНЕН ИМИ ДЛЯ
ЗАПИСИ ЧИСЕЛ---ВЕДЬ МЫ ТАК ПРИВЫКЛИ ПРОВОДИТЬ РАСЧЕТЫ В ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ
ПРИ ПОМОЩИ КАРАНДАША И БУМАГИ; НО БОЛЬШАЯ ЛЕГКОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА АБАКЕ
(ПИСАТЬ ТОГДА УМЕЛИ НЕ ВСЕ, И, КРОМЕ ТОГО, ВЫЧИСЛЕНИЯ НА АБАКЕ ДЕЛАЛИ
НЕНУЖНЫМ ЗАПОМИНАНИЕ ТАБЛИЦ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ) ПРИВЕЛА, ВЕРОЯТНО,
ГРЕКОВ К УБЕЖДЕНИЮ, ЧТО НЕЛЕПО ДАЖЕ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО ВЫЧИСЛЕНИЯ МОЖНО
УДОБНЕЕ ПРОВОДИТЬ, "ЦАРАПАЯ НА БУМАГЕ". в ТО ЖЕ ВРЕМЯ ГРЕЧЕСКИЕ АСТРОНОМЫ
ИСПОЛЬЗОВАЛИ ДЛЯ ЗАПИСИ ДРОБЕЙ ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНУЮ ПОЗИЦИОННУЮ СИСТЕМУ
СЧИСЛЕНИЯ, ЧЕМУ ОНИ НАУЧИЛИСЬ У ВАВИЛОНЯН.

нАША ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА, ОТЛИЧАЮЩАЯСЯ ОТ БОЛЕЕ ДРЕВНИХ ФОРМ В ПЕРВУЮ
ОЧЕРЕДЬ НАЛИЧИЕМ ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ ВМЕСТЕ
%% 204
С СИМВОЛОМ НУЛЬ ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ ПУСТОЙ ПОЗИЦИИ, ВПЕРВЫЕ ПОЯВИЛАСЬ У
ИНДУСОВ. тОЧНАЯ ДАТА ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЭТОЙ СИСТЕМЫ НЕИЗВЕСТНА; ЕСТЬ
ОСНОВАНИЯ ПРЕДПОЛАГАТЬ, ЧТО ЭТО ПРОИЗОШЛО ПРИМЕРНО В 6~В.~Н.~Э.
иНДИЙСКАЯ НАУКА ТОГО ВРЕМЕНИ, ОСОБЕННО АСТРОНОМИЯ, ОТЛИЧАЛАСЬ ВЕСЬМА
ВЫСОКИМ УРОВНЕМ. в НАИБОЛЕЕ РАННИХ ИЗ ДОШЕДШИХ ДО НАС ИНДИЙСКИХ РУКОПИСЕЙ,
ИСПОЛЬЗОВАВШИХ ЭТУ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ, ЧИСЛА ЗАПИСЫВАЮТСЯ В ОБРАТНОМ
ПОРЯДКЕ (С НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМОЙ ЦИФРОЙ СПРАВА), НО ВСКОРЕ СТАЛО ПРАВИЛОМ
РАСПОЛАГАТЬ НАИБОЛЕЕ ЗНАЧИМУЮ ЦИФРУ СЛЕВА.

оКОЛО 750~Г.~Н.~Э.\ ИНДУССКИЕ ПРИНЦИПЫ ДЕСЯТИЧНОЙ АРИФМЕТИКИ
РАСПРОСТРАНИЛИСЬ В пЕРСИИ, КОГДА НА АРАБСКИЙ ЯЗЫК БЫЛО ПЕРЕВЕДЕНО
НЕСКОЛЬКО ВАЖНЫХ РАБОТ; ЯРКАЯ КАРТИНА ЭТОГО ПЕРИОДА ДАНА В ОДНОЙ
ДРЕВНЕЕВРЕЙСКОЙ РУКОПИСИ, ПЕРЕВОД КОТОРОЙ НА АНГЛИЙСКИЙ ОПУБЛИКОВАН В
ЖУРНАЛЕ {\sl AMM\/} [{\bf 15}, (1918), 99--108]. вСКОРЕ ПОСЛЕ ЭТОГО
АЛЬ-хОРЕЗМИ НАПИСАЛ НА АРАБСКОМ СВОЕ РУКОВОДСТВО ПО ЭТОМУ ПРЕДМЕТУ. (кАК
ОТМЕЧАЛОСЬ В ГЛ.~1, ОТ ЕГО ИМЕНИ ПРОИЗОШЛО НАШЕ СЛОВО "АЛГОРИТМ".) кНИГА
АЛЬ-хОРЕЗМИ БЫЛА ПЕРЕВЕДЕНА НА ЛАТЫНЬ И ОКАЗАЛА СИЛЬНОЕ ВЛИЯНИЕ НА
лЕОНАРДО пИЗАНСКОГО (фИБОНАЧЧИ), ЧЬЯ КНИГА ПО АРИФМЕТИКЕ (1202~Г.) В
СВОЮ ОЧЕРЕДЬ СЫГРАЛА РЕШАЮЩУЮ РОЛЬ В РАСПРОСТРАНЕНИИ ИНДО-АРАБСКИХ ЧИСЕЛ В
еВРОПЕ. иНТЕРЕСНО ОТМЕТИТЬ, ЧТО В РЕЗУЛЬТАТЕ ЭТИХ ДВУХ ПЕРЕВОДОВ---С
САНСКРИТА НА АРАБСКИЙ И С АРАБСКОГО НА ЛАТЫНЬ---ПОРЯДОК НАПИСАНИЯ ЧИСЕЛ
(СЛЕВА НАПРАВО) НЕ ИЗМЕНИЛСЯ, ХОТЯ АРАБЫ ПИШУТ СПРАВА НАЛЕВО, А ИНДУСЫ И
ЕВРОПЕЙЦЫ СЛЕВА НАПРАВО. пОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПРОЦЕССА
РАСПРОСТРАНЕНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И АРИФМЕТИКИ ПО ВСЕЙ еВРОПЕ В
ПЕРИОД С~1200 ПО~1600~Г.\ ДАНО В КНИГЕ [David Eugene Smith, History of
mathematics, {\bf 1}, Boston, Gihn and Co., 1923], ГЛ.~6 И~8.

дЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ПРИМЕНЯЛАСЬ ВНАЧАЛЕ ТОЛЬКО К ЦЕЛЫМ ЧИСЛАМ, А
ДЛЯ ДРОБЕЙ НЕ ИСПОЛЬЗОВАЛАСЬ. аРАБСКИЕ АСТРОНОМЫ, КОТОРЫМ ПРИХОДИЛОСЬ
РАБОТАТЬ С ДРОБЯМИ ПРИ СОСТАВЛЕНИИ КАРТ ЗВЕЗДНОГО НЕБА И ДРУГИХ ТАБЛИЦ,
ПРОДОЛЖАЛИ ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ОБОЗНАЧЕНИЯМИ пТОЛЕМЕЯ (ЗНАМЕНИТОГО ГРЕЧЕСКОГО
АСТРОНОМА), ОСНОВАННЫМИ НА ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНЫХ ДРОБЯХ. эТА СИСТЕМА ДОЖИЛА
ДО НАШИХ ДНЕЙ В НАШИХ ЕДИНИЦАХ УГЛОВ ("ГРАДУСЫ, МИНУТЫ И СЕКУНДЫ"), А
ТАКЖЕ В ЕДИНИЦАХ ВРЕМЕНИ---РУДИМЕНТАХ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНОЙ
СИСТЕМЫ ВАВИЛОНЯН. пЕРВЫЕ ЕВРОПЕЙСКИЕ МАТЕМАТИКИ, КОГДА ИМ ПРИХОДИЛОСЬ
ИМЕТЬ ДЕЛО С НЕЦЕЛЫМИ ЧИСЛАМИ, ТАКЖЕ ПОЛЬЗОВАЛИСЬ
ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНЫМИ ДРОБЯМИ; фИБОНАЧЧИ, НАПРИМЕР, ПРИВОДИЛ В КАЧЕСТВЕ
ПРИБЛИЖЕННОГО КОРНЯ УРАВНЕНИЯ~$x^3+2x^2+10x=20$ ЗНАЧЕНИЕ
\EQ{
 1^{\circ}\, 22'\, 7''\, 42'''\, 33^{IV}\, 4^V\, 40^{VI}.
}

иСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ДЕСЯТЫХ, СОТЫХ И~Т.~Д.\ КАЖЕТСЯ
СРАВНИТЕЛЬНО НЕБОЛЬШИМ ПРОДВИЖЕНИЕМ, НО, КОНЕЧНО, РАЗРЫВ С ТРАДИЦИЕЙ
ВСЕГДА ТРУДЕН, А КРОМЕ ТОГО, ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНЫЕ
%% 205
ДРОБИ ИМЕЮТ ПРЕИМУЩЕСТВО ПЕРЕД ДЕСЯТИЧНЫМИ В ТОМ, ЧТО ТАКИЕ
ЧИСЛА, КАК~$1/3$, ДОПУСКАЮТ ТОЧНУЮ ЗАПИСЬ В ПРОСТОМ ВИДЕ.

пЕРВЫМИ, КТО СТАЛ РАБОТАТЬ С ВЕЛИЧИНАМИ, ЭКВИВАЛЕНТНЫМИ ДЕСЯТИЧНЫМ ДРОБЯМ,
БЫЛИ КИТАЙСКИЕ МАТЕМАТИКИ (КОТОРЫЕ НИКОГДА НЕ ПОЛЬЗОВАЛИСЬ
ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНОЙ СИСТЕМОЙ), ХОТЯ ИХ ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА (БЕЗ НУЛЯ) И НЕ БЫЛА
ПЕРВОНАЧАЛЬНО ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМОЙ В СТРОГОМ СМЫСЛЕ СЛОВА. кИТАЙСКИЕ
ЕДИНИЦЫ ВЕСОВ И МЕР БЫЛИ ДЕСЯТИЧНЫМИ, ТАК ЧТО цЗУ чУН-ЧЖИ (УМЕР ОКОЛО 500~Г.)
СМОГ ВЫРАЗИТЬ ПРИБЛИЖЕНИЕ ЧИСЛА~$\pi$ КАК "$3$~ЧАНА, $1$~ЧЖИ,
$5$~ЦУНЯ, $1$~ФЭН, $5$~ЛИ, $9$~ХАО, $2$~МЯО, $7$~ХУ". зДЕСЬ ЧАН,~\dots,
ХУ---ЕДИНИЦЫ ДЛИНЫ; $1$~ХУ (ДИАМЕТР ШЕЛКОВОЙ НИТИ) РАВЕН $1/10$~МЯО
И~Т.~Д. иСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАКИХ ПОХОЖИХ НА ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБЕЙ ПОЛУЧИЛО ДОВОЛЬНО
ШИРОКОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ В кИТАЕ НАЧИНАЯ ПРИМЕРНО С 1250~Г. в ИСТИННО
ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ ВПЕРВЫЕ ПОЯВЛЯЮТСЯ В ТРАКТАТЕ ПО
АРИФМЕТИКЕ, НАПИСАННОМ В дАМАСКЕ НЕИЗВЕСТНЫМ МАТЕМАТИКОМ, ПОДПИСАВШИМСЯ
"АЛЬ-уКЛИДИСИ" ("еВКЛИДОВ"). оН ВВЕЛ СИМВОЛ~${}'$ ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ
ДЕСЯТИЧНОЙ ТОЧКИ И УКАЗАЛ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ДРОБЕЙ И
ПРИБЛИЖЕННЫХ КВАДРАТНЫХ И КУБИЧЕСКИХ КОРНЕЙ; НО ОН НЕ ПОНЯЛ, ЧТО ЦЕЛУЮ И
ДРОБНУЮ ЧАСТИ ЧИСЕЛ МОЖНО УМНОЖАТЬ ОДНОВРЕМЕННО. еГО РАБОТА НЕ СТАЛА
ОБЩЕИЗВЕСТНОЙ, И ЧЕРЕЗ ПЯТЬ ВЕКОВ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ БЫЛИ ЗАНОВО ОТКРЫТЫ
ПЕРСИДСКИМ МАТЕМАТИКОМ АЛЬ-кАШИ, УМЕРШИМ ОКОЛО 1436~Г. аЛЬ-кАШИ БЫЛ ВЫСОКО
ИСКУСНЫМ ВЫЧИСЛИТЕЛЕМ, КОТОРЫЙ ДАЛ СЛЕДУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ~$2\pi$,
СОДЕРЖАЩЕЕ 16~ПРАВИЛЬНЫХ, ДЕСЯТИЧНЫХ ЗНАКОВ:
\btable{
 \strut\hfil$#$\bskip\hfil&&\vrule\hfil\bskip$#$\bskip\hfil\cr
 \omit цЕЛАЯ & \omit ЧАСТЬ \hfil& \multispan{16}\vrule\bskip \hfil дРОБНАЯ ЧАСТЬ\hfil\cr
 \noalign{\hrule}
 0 & 6 & 2 & 8 & 3 & 1 & 8 & 5 & 3 & 0 & 7 & 1 & 7 & 9 & 5 & 8 & 6 & 5 \cr
}
эТО БЫЛО НАИЛУЧШИМ ПРИБЛИЖЕНИЕМ ДЛЯ ЧИСЛА~$\pi$ ДО ТЕХ ПОР, ПОКА лУДОЛЬФ
ВАН цЕЙЛЕН ПОСЛЕ МНОГИХ ТРУДОВ В ПЕРИОД С~1596 ПО~1610~Г.\ НЕ ВЫЧИСЛИЛ
35~ДЕСЯТИЧНЫХ ЗНАКОВ. сАМЫЕ РАННИЕ ИЗ ИЗВЕСТНЫХ ПРИМЕРОВ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ
В еВРОПЕ ОБНАРУЖЕНЫ В ОДНОМ ТЕКСТЕ~15~В., ГДЕ, НАПРИМЕР,
$153.5$~УМНОЖАЕТСЯ НА~$16.25$ И В ОТВЕТЕ ПОЛУЧАЕТСЯ~$2494.375$; ЭТО
НАЗВАНО ТАМ "ТУРЕЦКИМ МЕТОДОМ". в 1525~Г.\ кРИСТОФ рУДОЛЬФ ИЗ гЕРМАНИИ
САМОСТОЯТЕЛЬНО ОТКРЫЛ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ; ЕГО РАБОТА ТАКЖЕ ОСТАЛАСЬ
НЕИЗВЕСТНОЙ. фРАНСУА вЬЕТ ПРЕДЛАГАЕТ ТУ ЖЕ ИДЕЮ СНОВА В 1579~Г.
нАКОНЕЦ, ТРАКТАТ ПО АРИФМЕТИКЕ, НАПИСАННЫЙ сИМОНОМ сТЕВИНОМ ИЗ
нИДЕРЛАНДОВ, В СВОЮ ОЧЕРЕДЬ НЕЗАВИСИМО В 1585~Г.\ ПРИШЕДШИМ К ИДЕЕ
ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ, ПРИОБРЕТАЕТ ШИРОКУЮ ПОПУЛЯРНОСТЬ.

еГО РАБОТА И ПОСЛЕДОВАВШЕЕ ВСКОРЕ ОТКРЫТИЕ ЛОГАРИФМОВ ПРИВЕЛИ К ТОМУ, ЧТО
В 17~В.\ ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ СТАЛИ ОБЩЕПРИНЯТЫМИ В еВРОПЕ. [дАЛЬНЕЙШИЕ
ПОДРОБНОСТИ И ССЫЛКИ НА ЛИТЕРАТУРУ
%% 206
МОЖНО НАЙТИ В КНИГАХ: D.~е.~Smith, History of Mathematics, {\bf 2},
Boston, Ginn and Co., 1925, 228--247, И C.~B.~Boyer, History of
Mathematics, New York, Wiley, 1968\note{1}%
{сМ. ТАКЖЕ КНИГУ д.~я.~сТРОЙКА "кРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ", "нАУКА",
 м., 1950.---{\sl пРИМ. ПЕРЕВ.\/}}.]

дВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ИМЕЕТ СВОЮ СОБСТВЕННУЮ ИНТЕРЕСНУЮ ИСТОРИЮ.
иЗВЕСТНО, ЧТО МНОГИЕ ПРИМИТИВНЫЕ ПЛЕМЕНА, СУЩЕСТВУЮЩИЕ В НАШЕ ВРЕМЯ,
ИСПОЛЬЗУЮТ ДВОИЧНУЮ, ИЛИ "ПАРНУЮ", СИСТЕМУ СЧЕТА (ГРУППИРОВКА ПО ПАРАМ, А
НЕ ПО ПЯТЕРКАМ ИЛИ ДЕСЯТКАМ), НО БЫЛО БЫ НЕВЕРНЫМ СКАЗАТЬ, ЧТО ОНИ
ВЫЧИСЛЯЮТ В НАСТОЯЩЕЙ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ, ТАК КАК ОНИ НЕ
ВЫДЕЛЯЮТ СПЕЦИАЛЬНЫМ ОБРАЗОМ СТЕПЕНЕЙ ДВОЙКИ. иНТЕРЕСНЫЕ ПОДРОБНОСТИ О
ПРИМИТИВНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ МОЖНО НАЙТИ В СТАТЬЕ аБРАХАМА
сАЙДЕНБЕРГА "The diffusion of counting practices" [{\sl Univ.\ Calif.\
Publ.\ in Math.,\/} {\bf 3} (1960), 215--300]. дРУГОЙ "ПРИМИТИВНЫЙ" ПРИМЕР
СУЩЕСТВЕННО ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ---ЭТО ТРАДИЦИОННЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ
ДЛИТЕЛЬНОСТИ НОТ В МУЗЫКЕ.

в ПАПИРУСЕ рИНДА\note{2}%
{нАЗВАН ПО ИМЕНИ ЕГО ВЛАДЕЛЬЦА---АНГЛИЙСКОГО ЕГИПТОЛОГА рИНДА (а.~н.~Rhind).
хОРОШЕЙ РЕПРОДУКЦИЕЙ ФРАГМЕНТА ЭТОГО ПАПИРУСА ОТКРЫВАЕТСЯ СБОРНИК
"мАТЕМАТИКА В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ" ("мИР", м., 1967).--- {\sl пРИМ. РЕД.\/}}
(еГИПЕТ, ОКОЛО 1650~Г.~ДО~Н.~Э.), ОДНОМ ИЗ ПЕРВЫХ ИЗВЕСТНЫХ НЕТРИВИАЛЬНЫХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДОКУМЕНТОВ, ПРИМЕНЯЕТСЯ ДЕСЯТИЧНО ОРИЕНТИРОВАННАЯ СХЕМА
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ, НО В НЕМ ЖЕ ПОКАЗАНО, КАК ВЫПОЛНЯТЬ ОПЕРАЦИЮ
УМНОЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ УДВОЕНИЙ И СЛОЖЕНИЙ. эТА ПРОЦЕДУРА
ПО СУЩЕСТВУ СВОЕМУ ОСНОВАНА НА ДВОИЧНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧИСЕЛ, ХОТЯ
ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНО И НЕ ВВОДИЛАСЬ.

в 17~В.\ НЕДЕСЯТИЧНЫЕ СЧИСЛЕНИЯ СТАНОВЯТСЯ ПРЕДМЕТОМ РАССМОТРЕНИЯ В
еВРОПЕ. в ТЕЧЕНИЕ МНОГИХ ЛЕТ АСТРОНОМЫ ОТ СЛУЧАЯ К СЛУЧАЮ ИСПОЛЬЗОВАЛИ
ШЕСТИДЕСЯТЕРИЧНУЮ АРИФМЕТИКУ КАК ДЛЯ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ, ТАК И ДЛЯ ДРОБНЫХ ЧАСТЕЙ,
ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ УМНОЖЕНИЯ; СМ. КНИГУ дЖОНА вАЛЛИСА
"Treatise of algebra" [Oxford, 1685], 18--22, 30. тОТ ФАКТ, ЧТО
\emph{ЛЮБОЕ} ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО МОЖЕТ СЛУЖИТЬ ОСНОВАНИЕМ СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ, БЫЛ, ПО-ВИДИМОМУ, ВПЕРВЫЕ ОПУБЛИКОВАН В РАБОТЕ бЛЕЗА
пАСКАЛЯ "De numeris multiplicibus", НАПИСАННОЙ ОКОЛО 1658~Г.\ [СМ.\
в.~Pascal, Euvres Compl\`etes, Paris, \'Editions de Seuil, 1963, 84--89].
пАСКАЛЬ ПИСАЛ: "Denaria enim ex institute hominum, non ex
necessitate naturae ut vulgus arbitratur, et sane satis inepte, posita
est", Т.~Е.: "дЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА ПОСТРОЕНА---ДОВОЛЬНО НЕРАЗУМНО, КОНЕЧНО,---В
СООТВЕТСТВИИ С ЛЮДСКИМИ ОБЫЧАЯМИ, А ВОВСЕ НЕ ТРЕБОВАНИЯМИ
ЕСТЕСТВЕННОЙ НЕОБХОДИМОСТИ, КАК СКЛОННО ДУМАТЬ БОЛЬШИНСТВО ЛЮДЕЙ". оН
УТВЕРЖДАЛ, ЧТО БЫЛО БЫ ЖЕЛАТЕЛЬНО ПЕРЕЙТИ К ДВЕНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ, И
ПРЕДЛОЖИЛ ПРАВИЛО ПРОВЕРКИ ДЕЛИМОСТИ
%% 207
ДВЕНАДЦАТЕРИЧНОГО ЧИСЛА НА~$9$. чЕТВЕРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ В РЯДЕ
ПУБЛИКАЦИЙ НАЧИНАЯ С 1673~Г.\ ПРЕДЛАГАЛ эРХАРД вАЙГЕЛЬ. пОДРОБНОЕ
ОБСУЖДЕНИЕ АРИФМЕТИКИ ПО ОСНОВАНИЮ ДВЕНАДЦАТЬ БЫЛО ПРОВЕДЕНО дЖОШУА
дЖОРДЭЙНОМ [Duodecimal arithmetick, London, 1687].

хОТЯ НА ПРОТЯЖЕНИИ ВСЕЙ ЭТОЙ ЭПОХИ В АРИФМЕТИКЕ ПРИМЕНЯЛАСЬ ПОЧТИ
ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА, СИСТЕМЫ МЕР И ВЕСОВ РЕДКО КОГДА, ЕСЛИ
ВООБЩЕ КОГДА-ЛИБО, СТРОИЛИСЬ НА ОСНОВЕ КРАТНЫХ ДЕСЯТИ, И МНОГИЕ ДЕЛОВЫЕ
ОПЕРАЦИИ ТРЕБОВАЛИ ИЗРЯДНОЙ ЛОВКОСТИ В СЛОЖЕНИИ ВЕЛИЧИН ТИПА ФУНТОВ,
ШИЛЛИНГОВ И ПЕНСОВ. иТАК, СТОЛЕТИЯМИ КУПЦЫ УЧИЛИСЬ ВЫЧИСЛЯТЬ СУММЫ И
РАЗНОСТИ ВЕЛИЧИН, ВЫРАЖЕННЫХ В СПЕЦИФИЧЕСКИХ ДЕНЕЖНЫХ ЕДИНИЦАХ
ИЛИ ЕДИНИЦАХ МЕР И ВЕСОВ, А ЭТО ФАКТИЧЕСКИ БЫЛА АРИФМЕТИКА В
НЕДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ. оСОБОГО ВНИМАНИЯ ЗАСЛУЖИВАЮТ, В
ЧАСТНОСТИ, РАСПРОСТРАНЕННЫЕ В аНГЛИИ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ,
УСТАНОВИВШИЕСЯ ЕЩЕ В 13~В.\ ИЛИ ДАЖЕ РАНЬШЕ:
\ctable{
\hfil #&${}={}$#\hfil\cr
2 ДЖИЛЛА & 1 ПОЛУШТОФ,\cr
2 ПОЛУШТОФА & 1 ПИНТА,\cr
2 ПИНТЫ & 1 КВАРТА,\cr
2 КВАРТЫ & 1 ПОТЛ,\cr
2 ПОТЛА & 1 ГАЛЛОН,\cr
2 ГАЛЛОНА & 1 ПЕК,\cr
2 ПЕКА & 1 ПОЛУБУШЕЛЬ,\cr
2 ПОЛУБУШЕЛЯ & 1 БУШЕЛЬ, ИЛИ ФИРКИН,\cr
2 ФИРКИНА & 1 КИЛДЕРКИН,\cr
2 КИЛДЕРКИНА & 1 БАРРЕЛЬ,\cr
2 БАРРЕЛЯ & 1 ХОГЗХЕД,\cr
2 ХОГЗХЕДА & 1 ПАЙП,\cr
2 ПАЙПА & 1 ТАН.\cr
}
оБRЕМЫ ЖИДКОСТИ, ВЫРАЖЕННЫЕ В ГАЛЛОНАХ, ПОТЛАХ, КВАРТАХ, ПИНТАХ И~Т.~Д.\note{1}%
{пРОИСХОЖДЕНИЕ НАЗВАНИЙ ЭТИХ МЕР ОБRЕМА ДОВОЛЬНО ПРОЗРАЧНО: firkin,
НАПРИМЕР, ОЗНАЧАЕТ "МАЛЕНЬКИЙ БОЧОНОК"; tan---"БОЛЬШАЯ БОЧКА".---{\sl пРИМ.\ ПЕРЕВ.\/}},
ЗАПИСЫВАЛИСЬ ПО СУЩЕСТВУ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ. бЫТЬ МОЖЕТ, ПОДЛИННЫМИ
ИЗОБРЕТАТЕЛЯМИ ДВОИЧНОЙ АРИФМЕТИКИ БЫЛИ АНГЛИЙСКИЕ ВИНОТОРГОВЦЫ!

нАСКОЛЬКО СЕЙЧАС ИЗВЕСТНО, ВПЕРВЫЕ ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ПОЯВЛЯЕТСЯ
ОКОЛО 1605~Г.\ В РЯДЕ НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РУКОПИСЕЙ тОМАСА хЭРРИОТА
(1560--1621). хЭРРИОТ---ВЕСЬМА ТВОРЧЕСКАЯ ЛИЧНОСТЬ---ПРИБЫЛ В аМЕРИКУ В
КАЧЕСТВЕ ПРЕДСТАВИТЕЛЯ СЭРА уОЛТЕРА рЭЙЛИ. оН ИЗОБРЕЛ (СРЕДИ МНОГОГО
ДРУГОГО) ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ НЫНЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ДЛЯ ОТНОШЕНИЙ "МЕНЬШЕ" И "БОЛЬШЕ";
НО ПО НЕКОТОРЫМ СООБРАЖЕНИЯМ ОН ПРЕДПОЧЕЛ НЕ ПУБЛИКОВАТЬ МНОГИЕ ИЗ СВОИХ
ОТКРЫТИЙ. иЗВЛЕЧЕНИЯ ИЗ ЕГО ЗАМЕТОК ПО ДВОИЧНОЙ
%% 208
АРИФМЕТИКЕ БЫЛИ ВОСПРОИЗВЕДЕНЫ дЖОНОМ у.~шЭРЛИ В {\sl Amer.\  J.\ Physics\/}
[{\bf 19} (1951), 452--454].

пЕРВОЕ ОПУБЛИКОВАННОЕ ОБСУЖДЕНИЕ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ ПРИНАДЛЕЖИТ
ИСПАНСКОМУ СВЯЩЕННИКУ хУАНУ кАРАМЮЭЛЮ лОБКОВИЦУ; ЭТО СРАВНИТЕЛЬНО
МАЛОИЗВЕСТНАЯ РАБОТА [{\sl Mathesis Bicepts,\/} Campani\ae, {\bf 1} (1670), 45--48].
кАРАМЮЭЛЬ ДОВОЛЬНО ПОДРОБНО РАССМОТРЕЛ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В
СИСТЕМАХ ПО ОСНОВАНИЯМ $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $12$
И~$60$, НО НЕ ПРИВЕЛ НИКАКИХ ПРИМЕРОВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В
НЕДЕСЯТИЧНЫХ СИСТЕМАХ (ЗА ИСКЛЮЧЕНИЕМ ТРИВИАЛЬНОЙ ОПЕРАЦИИ ПРИБАВЛЕНИЯ ЕДИНИЦЫ).

нАКОНЕЦ, ОДНА СТАТЬЯ г.~в.~лЕЙБНИЦА [{\sl Memoires de l'Academic Royale
des Sciences,\/} Paris, (1703), 110--116], В КОТОРОЙ ПОЯСНЯЛИСЬ ДВОИЧНЫЕ
ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ, ВЫЧИТАНИЯ, УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ, ДЕЙСТВИТЕЛЬНО
ПРИВЛЕКЛА К ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ ВСЕОБЩЕЕ ВНИМАНИЕ, И ИМЕННО НА ЭТУ СТАТЬЮ
ОБЫЧНО ССЫЛАЮТСЯ, ГОВОРЯ О РОЖДЕНИИ АРИФМЕТИКИ ПО ОСНОВАНИЮ~$2$. лЕЙБНИЦ И
ДАЛЕЕ ОЧЕНЬ ЧАСТО ОБРАЩАЛСЯ К ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ [СМ.~W.~Ahrens,
Mathematische Unterhaltungen und Spiele, {\bf 1}, Leipzig, Teubner, 1910,
27--28]. оН НЕ РЕКОМЕНДОВАЛ ЕЕ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ, НО
ПОДЧЕРКИВАЛ ЕЕ ВАЖНОСТЬ В ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ, ТАК КАК
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПОВЕДЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЧАСТО ГОРАЗДО
ЛЕГЧЕ УСМОТРЕТЬ В ДВОИЧНОЙ ЗАПИСИ, НЕЖЕЛИ В ДЕСЯТИЧНОЙ; ОН ВИДЕЛ ТАКЖЕ
НЕКИЙ МИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ В ТОМ ФАКТЕ, ЧТО ВСё НА СВЕТЕ ВЫРАЗИМО С ПОМОЩЬЮ
НУЛЕЙ И ЕДИНИЦ. [сМ.\ Laplace, Th\'eorie analytique des Probabilit\'es,
$3^{\rm me}$~\'ed., Paris, 1820, cix].

иНТЕРЕСНО ОТМЕТИТЬ, ЧТО ВАЖНАЯ КОНЦЕПЦИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ СПРАВА ОТ
ПОЗИЦИОННОЙ ТОЧКИ НЕ БЫЛА ЕЩЕ В ТЕ ВРЕМЕНА ПО-НАСТОЯЩЕМУ ОСОЗНАНА. лЕЙБНИЦ
ПРОСИЛ яКОВА бЕРНУЛЛИ ВЫЧИСЛИТЬ~$\pi$ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ, И
бЕРНУЛЛИ "РЕШИЛ" ЗАДАЧУ, ВЗЯВ 35-ЗНАЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ К~$\pi$, УМНОЖИВ
ЕГО НА~$10^{35}$, А ЗАТЕМ ВЫРАЗИВ ПОЛУЧЕННОЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО В ДВОИЧНОЙ
СИСТЕМЕ; ЭТО И БЫЛ ЕГО ОТВЕТ! дЛЯ МЕНЬШЕГО МАСШТАБНОГО МНОЖИТЕЛЯ ЭТО
РАССУЖДЕНИЕ ВЫГЛЯДЕЛО БЫ ТАК: $\pi\approx 3.14$,
А~$(314)_{10}=(100111010)_2$, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, $\pi$ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ
СЧИСЛЕНИЯ ЕСТЬ~$100111010$!\note{1}%
{эТО ЗАПИСЬ НЕ~$\pi$, А~$10^2\pi$! вОТ ПЕРВЫЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА~$\pi$ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ:
$11.0010010000111111011\ldots\,$.---{\sl пРИМ. РЕД.\/}}. (сМ.\ Leibniz,
Math.\ Schriften (ed.\ Gehrhardt), {\bf 3} [Halle, 1855], 97; ИЗ-ЗА ОШИБОК
В ВЫЧИСЛЕНИЯХ ДВА ИЗ 118~БИТОВ В ОТВЕТЕ НЕВЕРНЫ.) цЕЛЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ бЕРНУЛЛИ
СОСТОЯЛА, ПО-ВИДИМОМУ, В ТОМ, ЧТОБЫ ВЫЯСНИТЬ, МОЖНО ЛИ ОБНАРУЖИТЬ В ЭТОМ
ПРЕДСТАВЛЕНИИ~$\pi$ КАКИЕ-НИБУДЬ ПРОСТЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ.

шВЕДСКИЙ КОРОЛЬ кАРЛ~XII, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТАЛАНТ КОТОРОГО, ЕСЛИ ЕГО
СРАВНИВАТЬ С МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ТАЛАНТАМИ ПРОЧИХ КОРОЛЕЙ, ПО-ВИДИМОМУ, НЕ
ИМЕЛ СЕБЕ РАВНЫХ ВО ВСЕЙ МИРОВОЙ ИСТОРИИ,
%% 209
ОКОЛО 1717~Г.\ УВЛЕКСЯ ИДЕЕЙ ВОСЬМЕРИЧНОЙ АРИФМЕТИКИ. сКОРЕЙ ВСЕГО ЭТО
БЫЛО ЕГО СОБСТВЕННОЕ ИЗОБРЕТЕНИЕ, ХОТЯ ОН И ВСТРЕЧАЛСЯ С лЕЙБНИЦЕМ В
1707~Г.\ кАРЛ ЧУВСТВОВАЛ, ЧТО ОСНОВАНИЕ~$8$ ИЛИ~$64$ БЫЛО БЫ БОЛЕЕ УДОБНЫМ
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ, ЧЕМ~$10$, И ПОДУМЫВАЛ О ВВЕДЕНИИ В шВЕЦИИ ВОСЬМЕРИЧНОЙ
АРИФМЕТИКИ; ОДНАКО ОН ПОГИБ В БИТВЕ, ТАК И НЕ УСПЕВ ПРОВЕСТИ ЭТУ РЕФОРМУ.
(сМ.\ СОЧИНЕНИЯ вОЛЬТЕРА, {\bf 21} [Paris, E.~R.~DuMont, 1901], 49;
е.~Swedenborg, {\sl Gentleman's Magazine,\/} {\bf 24} (1754), 423--424.)

пРИМЕРНО 140~ЛЕТ СПУСТЯ ВЫДАЮЩИЙСЯ АМЕРИКАНСКИЙ ГРАЖДАНСКИЙ ИНЖЕНЕР,
ШВЕД ПО НАЦИОНАЛЬНОСТИ дЖОН нИСТРОМ РЕШИЛ СДЕЛАТЬ ЕЩЕ ОДИН ШАГ В РАЗВИТИЕ
ПЛАНОВ кАРЛА~XII И ПРЕДЛОЖИЛ ПОЛНУЮ СИСТЕМУ НУМЕРАЦИИ, МЕР И ВЕСОВ,
ОСНОВАННУЮ НА ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ АРИФМЕТИКЕ. оН ПИСАЛ: "я НЕ БОЮСЬ И
НИЧУТЬ НЕ КОЛЕБЛЮСЬ ВЫСТУПИТЬ В ЗАЩИТУ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ В АРИФМЕТИКЕ И
МЕТРОЛОГИИ. я ЗНАЮ, НА МОЕЙ СТОРОНЕ ПРИРОДА; ЕСЛИ МНЕ
%% !! ПРОВЕРИТЬ ОРФОГРАФИЮ
НЕ УДАСТЬСЯ УБЕДИТЬ ВАС В ЕЕ ПОЛЕЗНОСТИ И ЧРЕЗВЫЧАЙНОЙ ВАЖНОСТИ ДЛЯ
ЧЕЛОВЕЧЕСТВА, ЭТО НЕ СДЕЛАЕТ ЧЕСТИ НАШЕМУ ПОКОЛЕНИЮ, НАШИМ УЧЕНЫМ И
ФИЛОСОФАМ". нИСТРОМ РАЗРАБОТАЛ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРАВИЛА ПРОИЗНЕСЕНИЯ
ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ; НАПРИМЕР, ЧИСЛО~$(|C0160|)_{16}$ СЛЕДОВАЛО ЧИТАТЬ
"vybong, bysanton". пОЛНОСТЬЮ ЭТА СИСТЕМА, НАЗВАННАЯ ИМ "ТОНАЛЬНОЙ
СИСТЕМОЙ", БЫЛА ОПИСАНА В~J.~Franklin Inst.\ [{\bf 46} (1863), 263--275,
337--348, 402--407]. аНАЛОГИЧНАЯ СИСТЕМА, НО ИСПОЛЬЗУЮЩАЯ ОСНОВАНИЕ~$8$,
БЫЛА ПРЕДЛОЖЕНА ПРИМЕРНО В ТО ЖЕ ВРЕМЯ эЛФРЕДОМ б.~тЭЙЛОРОМ
[{\sl Proc.\ Amer.\  Pharmaceutical Assoc.,\/} {\bf 8} (1859), 115--216;
{\sl Proc.\ Amer.\  Philosophical Soc.,\/} {\bf 24} (1887), 296--366].

вСЕ БОЛЕЕ ШИРОКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ФРАНЦУЗСКОЙ (МЕТРИЧЕСКОЙ) СИСТЕМЫ МЕР И ВЕСОВ
ВЫЗВАЛО В ТУ ЭПОХУ МНОГОЧИСЛЕННЫЕ ДЕБАТЫ О ДОСТОИНСТВАХ ДЕСЯТИЧНОЙ АРИФМЕТИКИ.

сО ВРЕМЕНИ лЕЙБНИЦА ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ СТАНОВИТСЯ ХОРОШО ИЗВЕСТНОЙ
ДИКОВИНКОЙ, И р.~к.~аРЧИБАЛД СОБРАЛ ОКОЛО 20 РАННИХ РАБОТ, ПОСВЯЩЕННЫХ ЕЙ
[{\sl AMM,\/} {\bf 25} (1918), 139--142]. оНА ПРИМЕНЯЛАСЬ ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ
ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ СТЕПЕНЕЙ, КАК БУДЕТ ОБRЯСНЕНО В~П.~4.6.3, И ПРИ АНАЛИЗЕ
НЕКОТОРЫХ ИГР И ГОЛОВОЛОМОК. дЖ.~пЕАНО [{\sl Atti della R.\ Accademia
delle Scienze  di Torino,\/} {\bf 34} (1898), 47--55] ИСПОЛЬЗОВАЛ ДВОИЧНУЮ
СИСТЕМУ КАК ОСНОВУ ДЛЯ "ЛОГИЧЕСКОГО" АЛФАВИТА ИЗ 256~СИМВОЛОВ.
дЖОЗЕФ бОУДЕН [Special topics in theoretical arithmetic. Garden City, 1936, 49]
ПРЕДЛОЖИЛ СИСТЕМУ ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫХ ЧИСЕЛ.

вОЗРАСТАЮЩИЙ ИНТЕРЕС К МЕХАНИЧЕСКИМ УСТРОЙСТВАМ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ
АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ, В ОСОБЕННОСТИ УМНОЖЕНИЙ, ПРИВЕЛ РЯД
ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ К ИЗУЧЕНИЮ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ С ЭТОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ. пРЕКРАСНЫЙ
ОТЧЕТ ОБ ЭТИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ДАН В СТАТЬЕ "дВОИЧНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ"
э.~у.~фИЛЛИПСА [{\sl J.\ of the Institute of Actuaries,\/} {\bf 67}
(1936), 187--221]; ТАМ ЖЕ ПОМЕЩЕНА ЗАПИСЬ
%% 210
ДИСКУССИИ, СОСТОЯВШЕЙСЯ ПОСЛЕ ПРОЧИТАННОЙ ИМ НА ЭТУ ТЕМУ ЛЕКЦИИ. фИЛЛИПС
НАЧИНАЕТ СЛОВАМИ: "кОНЕЧНАЯ ЦЕЛЬ [ЭТОЙ СТАТЬИ] СОСТОИТ В ТОМ, ЧТОБЫ
УБЕДИТЬ ВЕСЬ ЦИВИЛИЗОВАННЫЙ МИР ОТКАЗАТЬСЯ ОТ ДЕСЯТИЧНОЙ НУМЕРАЦИИ И
ЗАМЕНИТЬ ЕЕ ВОСЬМЕРИЧНОЙ\note{1}%
{в ОРИГИНАЛЕ octonal, КАК У САМОГО фИЛЛИПСА, А НЕ octal, КАК ПРИНЯТО В
СОВРЕМЕННОМ АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ. в СЛЕДУЮЩЕМ АБЗАЦЕ РЕЧЬ ИДЕТ О ЧИТАТЕЛЯХ
АНГЛИЙСКОГО ОРИГИНАЛА.---{\sl пРИМ. РЕД.\/}}}".

сОВРЕМЕННЫЕ ЧИТАТЕЛИ СТАТЬИ фИЛЛИПСА БУДУТ, ВОЗМОЖНО, УДИВЛЕНЫ, ОБНАРУЖИВ,
ЧТО СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ПО ОСНОВАНИЮ~$8$ НАЗЫВАЛАСЬ В ТО ВРЕМЯ В
СООТВЕТСТВИИ СО ВСЕМИ СЛОВАРЯМИ АНГЛИЙСКОГО ЯЗЫКА octonary ИЛИ octonal,
ТОЧНО ТАК ЖЕ КАК СИСТЕМА ПО ОСНОВАНИЮ~$10$ НАЗЫВАЕТСЯ СЕЙЧАС denary ИЛИ
decimal; СЛОВО octal ПОЯВЛЯЕТСЯ В СЛОВАРЯХ АНГЛИЙСКОГО ЯЗЫКА ТОЛЬКО С
1961~Г., ПРИЧЕМ ПЕРВОНАЧАЛЬНО, ПО-ВИДИМОМУ, КАК ТЕРМИН ПРИ ОПИСАНИИ БАЗЫ
ВАКУУМНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ЛАМП ОПРЕДЕЛЕННОГО КЛАССА. сЛОВО hexadecimal\note{2}%
{шЕСТНАДЦАТЕРИЧНЫЙ.---{\sl пРИМ. ПЕРЕВ.\/}},
ВКРАВШЕЕСЯ В НАШ ЯЗЫК ЕЩЕ ПОЗЖЕ, ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ СМЕСЬ ГРЕЧЕСКОГО И
ЛАТИНСКОГО КОРНЕЙ\note{3}%
{вОТ ЭТИ КОРНИ: $\tilde\varepsilon\xi$---ШЕСТЬ, decimus---ДЕСЯТЫЙ. {\sl
пРИМ. РЕД.\/}};
 БОЛЕЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМИ ТЕРМИНАМИ БЫЛИ БЫ senidenary\note{4}%
{Seni deni---ШЕСТНАДЦАТЬ (\emph{ЛАТ.}).---{\sl пРИМ РЕД.\/}}
ИЛИ sedecimal ИЛИ ДАЖЕ sexadecimal\note{5}%
{Sex---ШЕСТЬ (\emph{ЛАТ.}).---{\sl пРИМ. РЕД.\/}},
НО ПОСЛЕДНИЙ, ПОЖАЛУЙ, ЗВУЧАЛ БЫ СЛИШКОМ РИСКОВАННО ДЛЯ ПРОГРАММИСТОВ.

вЫСКАЗЫВАНИЕ ф.~X.~уЭЙЛСА, ПРИВЕДЕННОЕ В КАЧЕСТВЕ ОДНОГО ИЗ ЭПИГРАФОВ К
ЭТОЙ ГЛАВЕ, ИЗВЛЕЧЕНО КАК РАЗ ИЗ ЗАПИСИ ДИСКУССИИ, ПОМЕЩЕННОЙ ВМЕСТЕ СО
СТАТЬЕЙ фИЛЛИПСА. дРУГОЙ СЛУШАТЕЛЬ ЭТОЙ ЛЕКЦИИ УКАЗАЛ НА НЕУДОБСТВА
ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ
ДЕЛОВЫХ ЦЕЛЕЙ: "$5\%$~ПРЕВРАЩАЮТСЯ В~$3.1463 \hbox{ per } 64$\note{6}%
{пОСКОЛЬКУ \% ПИШЕТСЯ ПО-АНГЛИЙСКИ per cent (ОТ ЛАТИНСКОГО per centum), А
cent ($100$) ЗАМЕНЯЕТСЯ НА~$64$.---{\sl пРИМ. РЕД.\/}},
ЧТО ЗВУЧИТ УЖАСНО".

рЯД ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН, ОСНОВАННЫХ НА ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ БЫЛ СОЗДАН В
НАЧАЛЕ ТРИДЦАТЫХ ГОДОВ НАШЕГО СТОЛЕТИЯ ВО фРАНЦИИ; СМ.\ ЗАМЕТКИ
л.~кУФФИНЬЯЛЯ И~р.~вАЛЬТА В {\sl Comptes Rendus\/} [{\bf 197} (1933), 877;
{\bf 202} (1936), 1745--1747, 1970--1972].

пЕРВЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ НА ЭЛЕКТРОННЫХ ЛАМПАХ СПРОЕКТИРОВАЛ В
1937~Г.\ дЖОН~в.~аТАНАСОВ, А ПЕРВЫЕ РЕЛЕЙНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ
НЕЗАВИСИМО И В ТОМ ЖЕ ГОДУ---дЖОРДЖ~р.~шТИБИЦ. оБА ОНИ В СВЕИХ ПРОЕКТАХ
ИСПОЛЬЗОВАЛИ ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ, ХОТЯ шТИБИЦ ВСКОРЕ ПОСЛЕ ЭТОГО
РАЗРАБОТАЛ И ДВОИЧНЫЙ КОД "ПЛЮС-3" ДЛЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ЦИФР. пРИМЕРНО В ТО ЖЕ
САМОЕ ВРЕМЯ В гЕРМАНИИ кОНРАД цУЗЕ ПОСТРОИЛ МЕХАНИЧЕСКУЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ
МАШИНУ, ОСНОВАННУЮ НА ДВОИЧНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ЧИСЕЛ С ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ;
ВПОСЛЕДСТВИИ (1941~Г.) ОН ЗАМЕНИЛ МЕХАНИ-
%% 211
\bye