ведя прямые линии через одноименные проекции этих точек, получим проекции треугольника ABC. Точка D, взятая на прямой АВ, тем самым принадлежит, пл, ; проводя прямую через точку D и через другую точку, заведомо принадлежащую пл.  (например, через точку С), получаем еще одну прямую в пл. . Аналогично могут быть построены прямые, а следовательно, и точки, принадлежащие плоскости, заданной любым из перечисленных выше способов. В дальнейшем мы увидим, что плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, может быть задана прямой, по которой эти плоскости пересекаются между собой. 42  17. СЛЕДЫ ПЛОСКОСТИ Более наглядно плоскость может быть изображена при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекций. На рис. 102 дан пример построения таких прямых для случая, когда некоторая пл.  задана двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ. Для построения прямой, по которой пл.  пересечет пл. ,, достаточно построить две точки, принадлежащие одновременно плоскостям  и 1. Такими точками служат следы прямых АВ и СВ на пл. 1 т. е. точки пересечения этих прямых с пл. ,. Построив Проекции этих следов и проведя через точки 0x01 graphic Рис. 102 Рис. 103 Рис. 104 ,' и 2 прямую, получим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей  и 1|. Линия пересечения плоскостей  и 2 определяется фронтальными следами прямых АВ " СВ. Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами этой плоскости на плоскостях проекций или, короче, следами плоскости. На рис. 103 изображена пл. о, пересекающая горизонтальную плоскость проекций по прямой, обозначенной h'о и фронтальную плоскость -- по прямой f"о. Прямая h'о называется горизонтальным следом плоскости, прямая f"о -- фронтальным следом плоскости. Если плоскость пересекает ось проекций, то на этой оси получается точка пересечения следов плоскости'). Так, на рис. 103 следы f"о и h'о пересекаются на оси  в точке, обозначенной Ха. След плоскости на плоскости проекций сливается со своей проекцией на этой плоскости. След h'о " hо (рис. 103) сливается со своей горизонтальной проекцией; фронтальная проекция этого следа располагается на оси проекций. След f"о "fо сливается со своей фронтальной проекцией; горизонтальная проекция этого следа располагается на оси проекций. На чертеже плоскость может быть задана проекциями ее следов. Можно ограничиться обозначением только самих следов (рис. 104). Такой чертеж нагляден и представляет удобства при некоторых построениях. При построении следов плоскости точка их пересечения может быть использована для проверки построения: оба следа должны пересекаться между собой в точке на оси проекций (см. рис. 102). Угол между следами на чертеже не равен углу, образованному следами плоскости в пространстве. Действительно, в пересечении следов находится вершина трехгранного угла, ') Для нее встречается название "точка схода следов". 43 две грани которого совпадают с плоскостями проекций (рис. 103). Но сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла. Поэтому угол, образованный следами f"о и h'о на чертеже (рис. 104), всегда больше угла между этими следами в пространстве. Если рассматривать плоскость в системе ль 2, 3, то в общем случае плоскость пересечет каждую из осей проекций (рис. 105: пл. а пересекает оси х, у и z). Такая плоскость называется плоскостью общего положения. След "'"р o называется профильным следом плоскости. Так как точки Х„ , и " лежат соответственно на осях х, у и z, то для построения чертежа плоскости в системе ль 2, 3 достаточно иметь заданными отрезки ОХК OYa и О2„ т. е. знать координаты точек Х„ У" и Z" в системе осей х, у, z. Дело сводится лишь к Одной координате для каждой из этих точек, так как две другие координаты равны нулю. Например, для построения точки . надо знать лишь ее аппликату: абсцисса и ордината этой точки равны нулю. 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 105 Рис. 107  18. ПРЯМАЯ И ТОЧКА В ПЛОСКОСТИ. ПРЯМЫЕ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ Как построить на чертеже прямую линию, лежащую в заданной плоскости? Это построение основано на двух положениях, известных из геометрии. 1) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости. 2) Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости, и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельной ей. Положим, что пл. а (рис. 106) определена двумя пересекающимися прямыми АВ и СВ, а пл.  -- двумя параллельными -- DE и FG. Согласно первому положе- 0x01 graphic Рис. 106 нию прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в данной плоскости. Отсюда вытекает, что если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных с ними следах плоскости (рис. 107). 44 Положим, что пл.  (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС. Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно прямой ВС, принадлежит 0x01 graphic Положим, что пл.  (рис. 106) определяется точкой А и прямой ВС. Согласно второму положению прямая, проведенная через точку А параллельно прямой ВС, принадлежит пл..у. Отсюда прямая принадлежит плоскости, если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую точку (рис. 108). Примеры построений на рис. 107 и 108 не должны быть поняты так, что для построения прямой в плоскости надо предварительно строить следы этой плоскости. Это не требуется. Например, на рис. 109 выполнено построение прямой AM в плоскости, заданной точкой А и прямой, проходящей через точку L. Положим, что прямая AM должна быть параллельна пл.  1. Построение начато с проведения проекции А"М" перпендикулярно к линии связи А"А'. По точке М" найдена точка М', и затем проведена проекция А'М'. Прямая AM отвечает условию: она параллельна пл. , и лежит в данной плоскости, так как проходит через две точки (А и М), заведомо принадлежащие этой плоскости. Как построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости? Для того чтобы сделать это, предварительно строят прямую, лежащую в заданной плоскости, и на этой прямой берут точку. 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 109 Рис. 110 Например, требуется найти фронтальную проекцию точки D, если задана ее горизонтальная проекция D' и известно, что точка D должна лежать в плоскости, определяемой треугольником ABC (рис. 110). Сначала строят горизонтальную проекцию некоторой прямой так, чтобы точка D могла оказаться на этой прямой, а последняя была бы расположена в данной плоскости. Для этого проводят прямую через точки А' и ХУ и отмечают точку М', в которой прямая A'D' пересекает отрезок В'С. Построив фронтальную .проекцию М" на В"С", получают прямую AM, расположенную в данной плоскости: эта прямая проходит через точки А и М, из которых первая заведомо принадлежит данной плоскости, а вторая в ней построена. Искомая фронтальная проекция D" точки D должна быть на фронтальной проекции прямой AM. Другой пример дан на рис. 111, В пл, , заданной параллельными прямыми АВ и CD, должна находиться точка К, для которой дана лишь горизонтальная проекция -- точка К'. 45 Через точку К' проведена некоторая прямая, принимаемая в качестве горизонтальной проекции прямой в данной плоскости. По точкам  и F строим Е" на Л*У и F" на C"D". Построенная прямая EF принадлежит пл. , так как проходит через точки  и F, заведомо принадлежащие плоскости. Если взять точку К" на E"F", то точка К окажется в пл. . К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, отнесем горизонтали, фронтали1) и линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Линию наибольшего наклона к пл. , будем называть линией ската плоскости2). Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные горизонтальной плоскости проекций. Построим горизонталь плоскости, заданной треугольником ABC. Требуется провести горизонталь через вершину А (рис. 112). Так как горизонталь плоскости есть прямая, параллельная пл. 1, то фронтальную проекцию этой прямой получим, проведя А"К" % А"А'. Для построения горизонтальной проекции этой горизонтали строим .точку К' и проводим прямую через точки А' и К'. Построенная прямая АК действительно является горизонталью данной плоскости: эта прямая, лежит в плоскости, так как проходит через две точки, заведомо ей принадлежащие, и параллельна плоскости проекций ,. Теперь рассмотрим построение горизонтали плоскости, заданной следами. Горизонтальный след плоскости есть одна из ее горизонталей ("нулевая" горизонталь). Поэтому построение какой-либо из горизонталей плоскости сводится 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 112 Рис. 113 к проведению в этой плоскости прямой, параллельной горизонтальному следу плоскости (рис. 108, слева). Горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости; фронтальная проекция горизонтали параллельна оси проекций. Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные плоскости проекций п2. Пример построения фронтали в плоскости дан на рис. 113. Построение выполнено аналогично построеншр горизонтали (см. рис. 112). Пусть фронталь проходит через точку А (рис. 113). Начинаем построение с проведения горизонтальной проекции фронтали -- прямой А'К', так как направление ') Наряду с горизонталями и фронталями плоскости можно рассматривать также ее профильные прямые-- прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные пл. пэ. Для горизонталей, фронталей и профильных прямых встречается общее название -- линия уровня. Однако такое название отвечает обычному представлению только о горизонтальности. 2) Для линии ската плоскости распространено название "линия наибольшего ската", но понятие "скат" по отношению к плоскости не требует добавления "наибольший)". 46 этой проекции известно: А'К'+А"А'. Затем строим фронтальную проекцию фрон-тали -- прямую А"К". Построенная прямая действительно является фронталью данной плоскости: эта прямая лежит в плоскости, так как проходит через две точки, заведомо ей принадлежащие, и параллельна пл. 2. Построим теперь фронталь плоскости, заданной следами. Рассматривая рис. 108, справа, на котором изображена пл.  и прямая MB, устанавливаем, что эта прямая - фронталь плоскости. Действительно, она параллельна фронтальному следу ("нулевой" фронтали) плоскости. Горизонтальная проекция фронтали параллельна оси х, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу плоскости. Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям 1, 2 и 3 называются прямые, лежащие в ней и перпендикулярные или к горизонталям плоскости, или к ее фронталям, или к ее профильным прямым. В первом случае определяется наклон к пл. 1 , во втором - к пл. 2, в третьем - к пл. 3. Для проведения линий наибольшего наклона плоскости можно, конечно, соответственно брать ее следы. Как было сказано выше, линия наибольшего наклона плоскости к пл. 1 называется линией ската плоскости. : Согласно правилам проецирования прямого угла (см.  15) горизонтальная проекция линии ската плоскости перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости или к ее горизонтальному следу. Фронтальная проекция линии ската строится после горизонтальной и может занимать различные положения в зависимости от задания плоскости. На рис. 114 изображена линия ската пл. а: ВК%h'о,. Tax как В'К также перпендикулярна к h'о, то "BKB' есть линейный угол 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 114 двугранного, образованного плоскостями  и .. Следовательно, линия ската плоскости может служить для определения угла наклона этой плоскости к плоскости проекций nt. Аналогично, линия наибольшего наклона плоскости к пл. 2 служит для определения угла между этой плоскостью и пл. 2, а линия наибольшего наклона к· пл.  3 - для определения угла с пл. 3. На рис. 115 построены линии ската в заданных плоскостях. Угол пл.  с пл. , выражен проекциями - фронтальной в виде угла В"К"В' и, горизонтальной в виде отрезка К'В'. Определить величину этого угла можно, построив прямоугольный треугольник по катетам, равным К'В' и В"В'. Очевидно, линия наибольшего наклона плоскости определяет положение этой плоскости. Например, если (рис, 115) заданна линия ската KB, то, проведя перпендикулярную к ней горизонтальную прямую AN или задавшись осью проекций  и проведя h'о% К'В', мы вполне определяем плоскость, для которой KB является линией ската. 47 Рассмотренные нами прямые особого положения в плоскости, главным образом горизонтали и фронтали, весьма часто применяются в различных построениях и при решении задач. Это объясняется значительной простотой построения указанных прямых; их поэтому удобно применять в качестве вспомогательных. На рис. 116 была задана горизонтальная проекция К' точки К. Требовалось найти фронтальную проекцию К", если точка К должна быть в плоскости, заданной двумя параллельными прямыми, проведенными из точек А и В. Сначала была проведена некоторая прямая линия, проходящая через точку К и лежащая л заданной плоскости. В качестве такой прямой выбрана фронталь MN: ее горизонтальная проекция проведена через данную проекцию К'. Затем построены точки М" и N", определяющие фронтальную проекцию фронтали. Искомая проекция К" должна находиться на прямой M"N". На рис. 117 слева по данной фронтальной проекции A" точки А, принадлежащей пл. а, найдена ее горизонтальная проекция (А1); построение произведено при помощи горизонтали ЕК. На рис. 117 справа аналогичная задача решена при помощи' фронтали MN. 0x01 graphic Еще один пример построения недостающей проекции точки, принадлежащей некоторой плоскости, дан на рис. 118. Слева показано задание: линия ската плоскости (AB) и горизонтальная проекция точки (К'). {Справа на рис. 118 показано построение: через точку К' проведена (перпендикулярная  А'В') горизонтальная проекция горизонтали, на которой должна лежать точка К, по точке L" найдена фронтальная проекция этой горизонтали и на ней искомая проекция К". На рис. 119 дан пример построения второй проекции некоторой плоской кривой, если известна одна проекция (горизонтальная) и пл. а, в которой эта кривая расположена. Взяв на горизонтальной проекции кривой ряд точек, находим при помощи горизонталей точки для построения фронтальной проекции кривой. Стрелками показан ход построения фронтальной проекции A" по горизонтальной проекции А'. 48 ВОПРОСЫ К 16-18 , 1. Как задается плоскость на чертеже? 2. Что такое след плоскости на плоскости проекций? 3. Где располагаются фронтальная проекция горизонтального следа и горизонтальная проекция фронтального следа плоскости? 4. Как определяется на чертеже, принадлежит ли прямая данной плоскости? 5. Как построить на чертеже точку, принадлежащую данной плоскости? 6. Что такое фронталь, горизонталь и'линия ската плоскости? 7. Может ли служить линия ската плоскости для определения угаа наклона этой плоскости к плоскости проекций ·? Определяет ли прямая линия плоскость, для которой эта прямая является линией ската?  19. ПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций , 2, 3: 1) плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций, 2) плоскость перпендикулярна лишь к одной из них, 3) плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций. Плоскости второго и третьего положений носят общее название "проецирующие плоскости". 1. Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, является плоскостью общего положения (см. рис. 105). Рассмотрим, например, плоскость, изображенную на рис. 112. Эта плоскость не перпендикулярна ни к 1 ни к 2, ни к 3. То, что она не перпендикулярна ни к 1, ни к 2, подтверждается видом проекций А'В'С и А"В"С": если бы плоскость, определяемая треугольником ABC, была перпендикулярна хотя бы к пь то (рис. 120) проекция А'В'С представляла бы собой отрезок прямой. Итак, рассматриваемая нами плоскость не перпендикулярна ни к 1 ни к 2. Но, может быть, эта плоскость перпендикулярна к 3? Нет, горизонталь этой плоскости АК не перпендикулярна к 3 (сравните о рис. 54, где показана"прямая, перпендикулярная к 3), и, следовательно, пл. ABC не перпендикулярна к 3. Итак, на рис. 112 дан пример задания плоскости общего положения в системе 1,2. Другими примерами задания плоскости общего положения служат рис. 109, 110, 111, 113, 116, а также рис. 102, 104, 107, слева, 108, 115, справа, 117, 119, на которых плоскости выражены следами. Плоскость общего положения (см. рис. 105) пересекает каждую из осей х, у, z. Следы плоскости общего положения никогда не перпендикулярны к этим осям проекций. Если следы плоскости общего положения h'о и f"о образуют с осью  одинаковые углы, то это означает, что углы между пл.  и плоскостями   и 2 равны между собой. Действительно, если плоские углы трехгранного угла равны между собой, то равны и лежащие против них двугранные углы; углы, образуемые следами h'о и f"о с осью  (см. рис. 105), представляют собой плоские углы, против которых соответственно расположены двугранные углы, образуемые пл.  с плоскостями  2 и . 0x01 graphic Рис. 120 Если плоскость общего положения должна быть одинаково наклонена к плоскостям 1 , 2 и 3, то (см. рис. 105), очевидно, , --  = ,, т.е. следы составляют с осями проекций углы 45°. Рассматривая плоскость общего положения в пространстве в пределах первой четверти или первого октанта, замечаем, что угол между горизонтальным и фронтальным следами может быть острым (см. рис. 105) или тупым (рис. 121). Пл. , изображенная на рис.121, проходит через все октанты, кроме шестого. Если чертеж плоскости общего положения строить по координатам точек пересечения следов, то, очевидно, на рис. 121 должны быть заданы положительные абсциссы и ордината точек Х  и У  и отрицательная аппликата точки . На рис. 122 изображен частный случай плоскости общего положения -- ее следы h'о и f"о , на чертеже лежат на одной прямой. Вспоминая схему совмещения плоскостей проекций (рис. 15 на с. 17), заметим, что следы h'о и f"о, образуют равные углы с осью  не только на чертеже, но и в пространстве. Как показано на рис. 122 справа, из равенства прямоугольных треугольников КК'Х и К"К'Х следует, что угол KX К' равен углу ' ", . е. след f"о - образует . с осью  такой же угол, как и след h'о . Отсюда пл.  образует равные углы с плоскостями 1 и 2. Часть пл. , находящаяся в первой четверти, содержит в себе натуральный угол между h'о и f"о (в нашем примере -- тупой). На рис. 122 показано также построение третьего следа плоскости (р0) по заданным двум ее следам h'0, и f",.Вследствие того, что следы h'0a и f"о лежат на одной прямой, точка Z, сливается с точкой У и, следовательно, точка У1 оказывается на таком же расстоянии от точки О, на каком находится точка Z,; поэтому след р"'о, наклонен под углом 45° к оси .у (и к оси z); именно такой наклон профильного следа будет получаться во всех случаях построения 0x01 graphic Рис.121 0x01 graphic Рис 122 плоскости, у которой на чертеже горизонтальный и фронтальный следы лежат на одной прямой, пересекающей ось  под острым углом. Такая плоскость проходит через перпендикуляр к оси х, составляющий с пл. 2 (или с 1 ) угол 45°. А так как этот перпендикуляр является перпендикуляром к биссекторной плоскости двугранных углов, смежных с углом 1 2 , то рассматриваемая плоскость может быть определена как плоскость, перпендикулярная к биссекторной плоскости второй и четвертой четвертей пространства ') ') Интересующихся более подробным изложением отсылаем к предыдущим изданиям этой книги. 50 2. Если плоскости перпендикулярны лишь к одной из плоскостей проекций, то возможны три случая частных положений. а) Плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций. Такие плоскости называются горизонтально-проецирующими. Пример дан на рис. 123: плоскость задана проекциями треугольника ABC. Горизонтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол 2 равен углу между заданной плоскостью и пл. 2. На рис. 124 дан пример изображения горизонтально-проецирующей плоскости ее следами: слева дано наглядное изображение, в середине -- чертеж в системе 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 123 1, 2 с указанием оси  и следов f"о и h'о справа -- без указания оси  и, следовательно, следа f"о . Фронтальный след перпендикулярен к пл. 1 и к оси проекций х. Горизонтальный же след может составлять с осью проекций любой угол; этот угол служит линейным углом двугранного между горизонтально-проецирующей плоскостью и пл. 2. Угол между hо и fо , а также угол между h0 и ро в пространстве равен 90°. Если в горизонтально-проецирующей плоскости расположена точка, то ее горизонтальная проекция должна быть на горизонтальном следе плоскости. Это относится и к любой системе точек, расположенных в горизонтально-проецирующей плоскости, будь то прямые линии, плоские кривые или фигуры. След hо" ' можно рассматривать как горизонтальную проекцию плоскости. б) Плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций. Такие плоскости называются фронтально-проецирующими. Пример дан на рис. 125: плоскость задана проекциями треугольника DEF. Фронтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол 1 равен углу между DEF и пл. 1. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 125 Рис. 126 На рис. 126 слева дано наглядное изображение, в середине -- .чертеж в системе 1, 2 указанием оси проекций, справа -- без указания оси проекций. Горизонтальный след перпендикулярен к пл. 2 и к оси проекций. Фронтальный же след мо- 51 жет составлять с осью проекций любой угол; этот угол служит линейным углом двугранного между фронтально-проецирующей плоскостью и пл. 2. Угол между fо и hоy в пространстве равен 90°, Если в фронтально-проецирующей плоскости расположена точка, то ее фронтальная проекция должна быть на фронтальном следе плоскости. Это относится и к любой системе точек. След fо " " (рис. 126) можно рассматривать как фронтальную проекцию пл. . в) Плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Такие плоскости называются профильно-проецирующими. На рис. 127 дан пример профильно-проецирующей плоскости: плоскость задана проекциями треугольника ABC. Горизонталь этой плоскости расположена перпендикулярно к пл. 3: проекции "D" и А'D ' взаимно параллельны. Это служит признаком того, что перед нами профильно-проецирующая плоскость, а не плоскость общего положения (сравните с рис. 112).° Профильная проекция треугольника ABC представляет собой отрезок прямой линии. Угол 1 между этим отрезком и линией связи С"С" равен углу наклона 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 128 плоскости треугольника к пл. 1 , а угол наклона плоскости треугольника к пл.·2 равен 90° - 1. На рис. 128 дан пример изображения профильно-проецирующей плоскости ее следами. Горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости параллельны оси  и, следовательно, параллельны между собой. Изображенная на рис. 107 справа плоскость также является профильно-проецирующей. Плоскость, перпендикулярная к одной из плоскостей проекций (горизонтально-, фронтально- или профильно-проецирующая), может, в частности, проходить через ось проекций. Такую плоскость дополнительно называют осевой плоскостью. Рассмотрим, например, осевую профильно-проецирующую плоскость (рис. 129). Следы ее f 0 и h0 сливаются с осью х; в этом случае необходимо иметь еще третий ее след р0д " '" или хотя бы положение одной точки, принадлежащей этой плоскости и не лежащей на оси .х. 0x01 graphic Рис. 129 Осевая плоскость может быть биссекторной; что значит, что осевая плоскость делит двугранный угол, образованный плоскостями проекций, пополам. 52 Как можно изобразить профильно-проецирующую плоскость на чертеже без осей проекций? Так, как дано на рис. 127. Другой пример представлен на рис. 130: плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, из которых одна (AB) перпендикулярна к пл. 3, а другая занимает произвольное положение. 3. Если плоскости перпендикулярны к двум плоскостям проекций, то также возможны три случая частных положений1). 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 132 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 133 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 135 Рис. 136 а) Плоскость перпендикулярна к плоскостям 2 и 3, т.. е. параллельна плоскости 1 . Такие плоскости называются горизонтальными. На рис. 131 дан пример горизонтальной плоскости, заданной проекциями треугольника ABC. На рис. 132 справа изображена горизонтальная плоскость в системе 1 , 2 при помощи фронтального следа. След (f0t = ") можно рассматривать как фронтальную проекцию плоскости. б) Плоскость перпендикулярна к плоскостям 1 и 3, т. е. параллельна плоскости 2. Такие плоскости называются фронтальными. На рис. 133 дан пример фронтальной плоскости, заданной проекциями треугольника CDE. ') Для таких плоскостей встречается общее название "плоскости уровня". Однако это название отвечает обычному представлению только о горизонтальности. 53 помощи следа (hо" '), который можно рассматривать как проекцию этой плоскости на пл. 1 . в) Плоскость перпендикулярна к плоскостям 1 и 2, т. е. параллельна плоскости 3. Такие плоскости называются профильными. Пример изображения в системе 2, 3 дан на рис. 135: плоскость задана проекциями треугольника EFG. На рис. 136 дан пример изображения в системе 1, 2 при помощи следов. Каждый из них можно рассматривать как проекцию плоскости  на соответствующей плоскости проекций. Профильная плоскость сочетает в себе свойства фронтально- и горизонтально-проецирующей плоскостей. ВОПРОСЫ К 19 1. Как располагаются в системе 1, 2 , 3 плоскость общего положения и плоскости, называемые проецирующими? 2. Что такое фронтально-проецирующая плоскость, горизонтально-проецирующая, профильно-проецирующая? 3. Как определить, является ли плоскость, заданная в системе ,, я- пересекающимися или параллельными прямыми, плоскостью общего положения или профильно-проецирующей? 4. Что представляет собой горизонтальная проекция горизонтально-проецирующей плоскости и фронтальной плоскости? 5. Тот же вопрос в отношении фронтальной проекции фронтально-проецирующей плоскости и горизонтальной плоскости. 6. Где располагается горизонтальная проекция любой системы точек, расположенной в горизонтально-проецирующей или фронтальной плоскости? 7. Где располагается фронтальная проекция любой системы точек, расположенной в горизонтальной или фронтально-проецирующей плоскости? Чему равен в пространстве угол между фронтальным и горизонтальным следами горизонтально- и фронтально-проецирующей плоскостей?  20. ПРОВЕДЕНИЕ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТИ ЧЕРЕЗ ПРЯМУЮ ЛИНИЮ В дальнейшем изложении будут иметь место случаи, когда придется проводить проецирующую плоскость через прямую линию согласно какому-либо условию. Через прямую общего положения можно провести любую из таких плоскостей. Примеры даны на рис. 137. Через заданную в системе 1, 2 прямую, проходящую через точку К, проведены фронтально-проецирующая плоскость, выраженная ее фронтальной проекцией ", горизонтально-проецирующая плоскость, выраженная ее горизонтальной проекцией ', и профильно-проецирующая плоскость, определяемая, помимо заданной прямой АК, еще прямой АВ, перпендикулярной к пл. 3. 0x01 graphic 0x01 graphic На рис. 138 плоскости, проведенные через заданную прямую, выражены следами. Положение оси х или задается, или может быть выбрано. 54 Но через прямую общего положения нельзя провести ни фронтальную, ни горизонтальную, ни профильную плоскость. Такие плоскости можно проводить лишь через соответственно расположенные прямые: через горизонтальную прямую про- 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 139 вести горизонтальную плоскость,, через фронтальную прямую -- фронтальную плоскость, через профильную прямую -- профильную плоскость. На рис. 139 изображены горизонтальная плоскость , проходящая через горизонтальную прямую АВ, и фронтальная пл. , проходящая через фронтальную прямую CD.  21. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ПЛОСКИХ ФИГУР Построение проекций плоских фигур (т. е. фигур, все точки которых лежат в одной плоскости, например, квадрата, круга, эллипса и т. д.) сводится к построению проекций ряда точек, отрезков прямых и кривых линий, образующих контуры проекций фигур. Зная координаты вершин, например, треугольника, можно построить проекции этих точек, затем проекции сторон и получить таким образом проекции фигуры. Чертежи, содержащие проекции треугольника,, уже встречались (например, рис. 110, 112 и др.). Если сравнить между собой рис. 110 и 112, то можно заметить, что на рис. ПО одна из проекций, положим фронтальная, изображает "лицевую" сторону треугольника, а горизонтальная - "тыльную". А на рис. 112 каждая из проекций изображает треугольник с одной и той же его стороны. Признаком может служить порядок обхода вершин: на рис. 110 для фронтальной проекции по часовой стрелке (считая от А" к С"), а для горизонтальной -- против часовой стрелки; на рис. 112 для обеих проекций обход в одном направлении - в данном случае по часовой стрелке. В общем случае в системе 1, 2 , 3 проекции какого-либо многоугольника представляют собой также многоугольники с тем же числом сторон; при этом плоскость этого многоугольника является плоскостью общего положения. Но ,если в системе 1, 2 обе проекции, например, треугольника представляют собой треугольник, то его плоскость может оказаться плоскостью общего положения или профильно-проецирующей: на рис. 112 - плоскость общего положения, а на рис. 127 - профильно-проецирующая. Определителем служит, как было сказано на с. 52 в пояснении к рис. 127, горизонталь (или фронталь): если ее проекции на , и 2 взаимно параллельны, то плоскость профильно-проецирующая (рис. 127); если же не параллельны, то плоскость общего положения (например, рис. 112, 115, слева). Если проекция многоугольника на 1 или на 2 представляет собой отрезок прямой, то плоскость этого многоугольника соответственно перпендикулярна к 1 или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника горизонтально-проецирующая, на рис. 125 -- фронтально-проецирующая. Фигура, расположенная параллельно плоскости проекций, проецируется на нее без искажения. Например, все элементы треугольника CDE, изображенного на рис. 133, проецируются на пл. 2 без искажения; круг, изображенный на рис. 140, проецируется на пл. 1 без искажения. 55 Если же плоскость фигуры не параллельна плоскости проекций, то для определения натурального вида (т. е. без искажения) этой фигуры применяют способы, указанные далее, в главе V. Конечно, можно было бы и теперь, не зная еще этих способов, построить, например, натуральный вид треугольника, изображенного на рис. 112, определив длину каждой его стороны как длину отрезка (см.  13) и затем построив треугольник по найденные отрезкам. Вместе с тем определились бы и углы данного треугольника. Так поступают, например, при построении развертки 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 140 Рис. 141 боковой поверхности пирамиды, призмы и др. (см. далее  44). Если же многоугольник расположен в проецирующей плоскости, то можно построить его натуральный вид так, как показано на рис, 141. Положим, требуется определить натуральный вид четырехугольника KPNM, расположенного в фронтально-проецирующей пл. ос. Тогда, как это показано на рис. 141 справа, можно взять в плоскости фигуры две оси прямоугольных координат с началом хотя бы в точке К: ось абсцисс (К"Х", К'Х1) параллельно пл. 2, ось ординат перпендикулярно к 2 (проекции этой оси К"", К'Т), провести прямую KL (это можно сделать, например, параллельно К"Х") и отложить на ней К1 = = К"Р", К2 -- К"М", КЗ = "". Затем на перпендикулярах к прямой KL в точках 1,2 и. 3 отложим отрезки Р1 = F4, М2 -- М'5 и N3 = N'6. Построенный таким образом четырехугольник  представляет собой натуральный вид заданного. При решении многих задач вопрос о том, какое положение занимает плоская фигура относительно Плоскостей проекций, приобретает существенное значение. В качестве примера рассмотрим вопрос о построении четырех замечательных точек треугольника. Так как делению отрезка прямой в пространстве пополам отвечает такое же деление проекций этого отрезка (см.  12), то построение точки пересечения медиан треугольника') может быть произведено на чертеже во всех случаях непосредственно. .Достаточно (рис. 142) провести медианы на каждой из проекций треугольника, и точка пересечения его медиан будет определена. При этом можно ограничиться построением обеих проекций лишь одной из медиан (например, A'D' и A"D") и одной проекции второй медианы (например, В"Е"); в пересечении4 A"D" и В"Е" получаем точку М", а по ней находим на A'D' точку М'. Можно было бы также, построив лишь одну из медиан треугольника, найти на ней точку М на основании известного из геометрии свойства этой точки (она делит каждую медиану в отношении 2:1). Построение точки пересечения трех высот треугольника 2) и точки перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через их середины3), связано с проведением взаимно перпендикулярных прямых. *·) Точка пересечения медиан есть центр тяжести треугольника. 2) Ортоцентр треугольника. Центр описанной окружности. 56 В  15 были указаны условия, при которых перпендикулярные отрезки в пространстве имеют своими проекциями также перпендикулярные отрезки. Если плоскость треугольника параллельна плоскости проекций (например, треугольник СОЕ на рис. 133), то, опустив пер-. пендикуляры из точек С", D" и Е" на противоположные им стороны, получаем проекции высот треугольника. Но в треугольнике общего положения так поступить нельзя. В частном случае, когда одна сторона треугольника параллельна пл.  1, а другая параллельна пл. 2 (рис. 143), проведя С"Е" перпендикулярно к A"B" и В'Е' перпендикулярно к A'C', получаем в пространстве CF" AB и ВЕ" АС; точка пересечения высот оказалась построенной без каких-либо особых приемов. В сймом же общем случае для проведения на проекционной! чертеже перпендикулярных линий приходится прибегать к особым приемам, которые будут изложены дальше. Построение точки пересечения биссектрис треугольника ') также может быть произведено непосредственно лишь в частных случаях расположения треугольника относительно плоскостей проекций. Это объясняется Тем, что деление пополам проекции какого-либо утла отвечает его делению пополам в пространстве только в том случае, если стороны данного угла одинаково наклонены к той плоскости проекций, на которой производится деление пополам проекции угла (см.  15). 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 143 При построении проекций какого-либо многоугольника необходимо обратить внимание на то, чтобы не нарушалось условие нахождения всех точек данной фигуры в одной плоскости. На рис. 144 даны полностью горизонтальная проекция некоторого пятиугольника ABCDE и фронтальные проекции только трех его вершин: А", В" и Е". Справа 0x01 graphic Рис. 144 на рис. 144 показано построение проекций остальных двух вершин, С" и D", пятиугольника. Чтобы точки С и D лежали в плоскости, определенной тремя точками А, ') Центр вписанной окружности. 57 В и Е, необходимо, чтобы они находились на прямых, лежащих в этой плоскости. Этими прямыми являются диагонали AC, AD и BE, горизонтальные проекции которых мы можем построить. На фронтальной проекции пятиугольника мы можем провести лишь В"Е". Но в плоскости пятиугольника лежат точки пересечения диагоналей К и М, горизонтальные проекции которых (К' и М1) имеются, а фронтальные проекции получаются сразу, так как они должны лежать на В"Е". По двум точкам строятся фронтальные проекции и остальных двух диагоналей А"К" и А"М"; на них должны лежать точки С" и D", которые определяются по их горизонтальным проекциям. · Круг, плоскость которого параллельна какой-либо плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения (см. рис. 140, где круг взят в горизонтальной плоскости). Если плоскость круга расположена перпендикулярно к плоскости проекций, то на эту плоскость круг проецируется в виде отрезка прямой, равного диаметру круга. Но если круг расположен  плоскости, составляющей с плоскостью проекций какой-либо острый угол , то проекцией круга является фигура, называемая эллипсом. Эллипсом называется также кривая, ограничивающая эллипс-фигуру: если эллипс-фигура является проекцией круга, то эллипс-линия является проекцией окружности. В дальнейшем изложении, говоря об эллипсе, будем подразумевать проекцию окружности. Эллипс относится к числу кривых, называемых кривыми второго порядка. Уравнения таких кривых в декартовых координатах представляют собой уравнения второго порядка. Кривая второго порядка пересекается с прямой линией в двух точках. Далее мы встретимся еще с параболой и гиперболой, тоже кривыми второго порядка. Эллипс можно рассматривать как "сжатую" окружность. Это показано на рис. 145, слева. Положим, что на радиусе ОВ отложен отрезок ОВ1 длиной b, причем b < а (т. е. меньше радиуса окружности). Если теперь взять на окружности какую-либо точку К и, проведя из К перпендикуляр на А 1 А2, отметить на КМ точку 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 145 Рис. 146 ку k1 так, чтобы МК1 :МК = b:а, то эта точка К, будет принадлежать эллипсу. Так можно преобразовать каждую точку окружности в точку эллипса, соблюдая одно и то же отношение b:а. Окружность как бы равномерно сжимается; линия, в которую при этом преобразуется окружность, является эллипсом. Отношение b: a называется коэффициентом сжатия эллипса. Если b приближается к а; то эллипс расширяется и при b = а превращается в окружность. Напомним (из курса черчения средней школы), что 1) отрезок А1А2=2а называется большой осью эллипса; 2) отрезок bib- = 2b называется малой осью эллипса; 3) большая и малая оси взаимно перпендикулярны; точка пересечения осей называется центром эллипса; 58 5) отрезок прямой между двумя точками -эллипса, проходящий через -центр эллипса, называется его диаметром; 6) точки A,, A2> В,, B2 называются вершинами эллипса; 7) эллипс симметричен относительно его осей и относительно его центра; эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек Ft и F2 (рис. 145, справа) имеет одно и то же значение 2а (размер большой оси). C'D' делит хорду M\N{, параллельную диаметру E'F', сопряженному с CD', пополам. Но именно такие два диаметра эллипса, из которых каждый делит пополам хорды, параллельные другому, являются сопряженными. Сопряженные диаметры эллипса не перпендикулярны один к другому; исключение составляют оси эллипса, Из рассмотрения рис. 146 следует, что при повороте окружности вокруг диаметра AtA2 на угол  этот диаметр, параллельный пл. itlt сохраняет в горизонтальной проекции свою величину и становится большой осью эллипса (см. рис. 146, справа). Диаметр же В1В2, повернутый на угол 1 к пл. -, проецируется на нее с сокращением: 0x01 graphic Это соответствует отношению осей эллипса, т. е. его коэффициенту сжатия. Если в окружности провести какие-либо два взаимно перпендикулярных диаметра, то в проекции, представляющей собой эллипс (рис. 146, справа), проекции таких диаметров окружности оказываются диаметрами эллипса, называемыми сопряженными. Если в окружности (рис. 146, слева) провести, например, хорду [(, параллельную диаметру E'F', то диаметр C'D' разделит эту хорду (и все хорды, ей параллельные) пополам. Очевидно, что и в эллипсе сохранится это свойство (см. рис. 146, справа): диаметр также являющиеся парой сопряженных диаметров. 0x01 graphic Рис. 147 Напомним, как производится построение эллипса по его осям (рис. 147, слева). Построение выполняется при помощи двух концентрических окружностей, проведенных радиусами а (большая полуось) и b (малая полуось). Если провести какой-либо радиус ОМ, и прямые  1Л/„ и ЕМ, параллельные малой и большой осям эллипса, то при пересечении этих прямых получится точка М, принадлежащая эллипсу. Действительно, 0x01 graphic Проводя ряд радиусов и повторяя указанное построение, получаем ряд точек эллипса. Построив какую-нибудь точку эллипса, можно построить еще три точки, расположенные симметрично найденной относительно осей эллипса или его центра. На рис. 147 справа показано построение фокусов эллипса: засекая из точки B, большую ось дугой, радиуса, равного большой полуоси oa 1, получаем точки f 1 и F2 -- фокусы эллипса. Построив угол F 1КF2, где К -- любая точка эллипса, проводим в нем биссектрису и перпендикулярно к ней в точке К касательную к эллипсу. Прямая KN, перпендикулярная  каса-тельной, является нормалью1) к эллипсу в точке К. ') От normal is (лат.) -- прямолинейный. 59 Как построить оси эллипса, если известны его сопряженные диаметры? Пусть получены сопряженные полудиаметры CA и СВ (рис. 148). Для построения осей эллипса: 1) один из сопряженных полудиаметров, например CB, поворачиваем на угол 90° по направлению к другому (до положения CB2); 2) проводим отрезок AB2 и делим его пополам; 3) из точки К проводим окружность радиусом КС; · 4) прямую, определяемую отрезком АВ2, продолжаем до пересечения с этой окружностью в точках D и E; 5) проводим прямую DC, получаем направление большой оси эллипса; 6) проводим ЕС -- направление малой оси эллипса; 7) откладываем С1 .= АЕ -- большая полуось; 8) откладываем СЗ = AD -- малая полуось; 9) откладываем С2 = С;, С4 = СЗ, С5,= СА, Со = СВ. Эллипс может быть проведен через восемь точек /, А, 3, В, 2,5,4 и 6 или построен по большой и малой осям, как показано на рис. 147. Итак, проведя прямые CD и СЕ, мы получили направления большой и малой осей эллипса; точка A, принадлежащая эллипсу, делит диаметр ED на два отрезка, из которых один (АЕ) равен большой полуоси этого эллипса, а другой (AD) -- малой полуоси. Если (рис. 149) 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 150 Рис. 151 взять оси координат  и у соответственно по прямым CD и СЕ и из точки А провести перпендикуляр AD к прямой CD, то координаты,,точки А могут быть выражены следующим образом: Отсюда 0x01 graphic Это уравнение эллипса, у которого АЕ -- большая полуось, а АО -- малая полуось. На рис. 146 было показано построение горизонтальной проекции окружности, расположенной в фронтально-проецирующей плоскости, наклоненной к пл. 1. Пусть теперь в такой 60 плоскости лежит эллипс с полуосями а и b. Его проекцией иногда может оказаться окружность с диаметром, равным малой оси эллипса: это будет тогда, когда для угла между плоскостью, в которой лежит эллипс, и пл. 1 имеет место соотношение0x01 graphic (рис. 150). Полученная окружность будет служить проекцией ряда эллипсов, если изменять угол  и размер а, оставляя b неизменным. Представим себе прямой круговой цилиндр с вертикальной осью (рис. 151); наклонные сечения этого цилиндра будут эллипсами, малая ось которых равна диаметру цилиндра. ВОПРОСЫ К  20-21 1. Как изображается на чертеже фронтально-проецирующая плоскость, проведенная через прямую общего положения? 2. Как построить проекции центра тяжести в заданном чертеже треугольника? 3. Что могут представлять собой проекции круга в зависимости от положения его плоскости относительно плоскости проекций? 4. Можно ли рассматривать эллипс как "сжатую" окружность? 5. Что такое коэффициент сжатия эллипса? 6. Имеет ли эллипс: а) оси симметрии, б) центр симметрии? 7. Какие диаметры эллипса называются: а) осями, б) сопряженными диаметрами? 8. Как по заданным сопряженным диаметрам эллипса построить его оси? ГЛАВА IV. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ  22. ОБЗОР ВЗАИМНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ Две плоскости могут быть параллельными или пересекаться между собой. Рассмотрим случай взаимной параллельности плоскостей. Если плоскости  и  параллельны (рис. 152), то всегда в каждой из них можно построить по две пересекающиеся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. Это служит основным признаком для определения, параллельны плоскости между собой или не параллельны. Такими прямыми могут служить, например, 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 152 Рис. 153 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 154 Рис. 155 следы обеих плоскостей: если два пересекающихся между собой следа одной плоскости параллельны одноименным с ними следам другой плоскости, то обе плоскости параллельны между собой (рис. 153, где h'0% h'0, f"o || f"o). На рис. 154 показаны параллельные между собой фронтально-проецирующие плоскости, заданные треугольниками ABC и DEF. Их параллельность определяется параллельностью фронтальных проекций А"В"С" и D"F"E". Если же эти плоскости выразить их следами на 2 и ,, то так же, как на рис. 153, фронтальные следы ока- 62 жутся взаимно параллельными и горизонтальные следы будут также взаимно параллельны. Очевидно, если известно, что параллельные между собой плоскости фронтально-проецирующие, то на чертеже можно в некоторых случаях ограничиться только приведением их фронтальных следов так, как это показано далее на рис. 166 ("1||"2). Для горизонтально-проецирующих плоекостей (если известно, что они. взаимно параллельны) в аналогичных случаях достаточно провести их горизонтальные следы -- один параллельно другому. Рассмотрим случай взаимного пересечения плоскостей. В случае задания плоскостей их следами легко установить, что эти плоскости пересекаются: если хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то плоскости пересекаются. Так, например, на рис. 155 f"o || f"o, но ' и а' пересекаются: плоскости  и  пересекаются между собой. Изложенное относится к плоскостям, заданным пересекающимися следами. Если же обе плоскости имеют на  и на 2 следы, параллельные оси х, то эти плоскости могут или пересекаться, или быть параллельными. Для решения вопроса 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 156 Рис. 157 о взаимном положении таких плоскостей можно построить третий след: если следы обеих плоскостей на третьей плоскости проекций также параллельны друг другу, то плоскости параллельны (рис. 156: h'0fi \\ h'0 f"o% f"o и "' || '"); если же третьи следы пересекаются, то плоскости пересекаются (рис. 157)1). Так решается вопрос о взаимном положении двух плоскостей, заданных следами. Если же плоскости заданы не следами, а каким-либо другим способом, и надо узнать, пересекаются ли эти плоскости, то вообще следует прибегать к некоторым вспомогательным построениям. Примеры этих построений будут даны при дальнейшем изложении. Рассмотрим случаи взаимного положения прямой линии и плоскости. Взаимное положение прямой линии и плоскости в пространстве может быть следующим: а) прямая лежит в плоскости, б) прямая пересекает плоскость, в) прямая параллельна плоскости. Если на чертеже непосредственно нельзя установить взаимного положения прямой и плоскости, и то прибегают к некоторым вспомогательным построениям, в результате которых от вопроса о взаимном положении прямой и плоскости переходят к вопросу о взаимном положении данной прямой и некоторой вспомогательной прямой. Для этого (рис. 158) проводят через данную прямую АВ некоторую вспомогательную плоскость  и рассматривают взаимное положение прямой  пересечения плоскостей  и  и прямой АВ. 0x01 graphic ') Очевидно, что при такой, например, последовательности в расположении параллельных оси  следов: f"o, f"o, h'0, h'0 плоскости не могут быть параллельны между собой и построение следов '" и '" излишне. 63 При этом возможны три случая: 1) Прямая MN сливается с прямой АВ; это соответствует тому, что прямая АВ принадлежит пл. . 2) Прямая  пересекает прямую АВ; это соответствует тому, что прямая АВ пересекает пл. . 3) Прямая  параллельна прямой АВ; это соответствует тому, что прямая АВ параллельна пл. . Итак, указанный прием определения взаимного положения прямой и плоскости заключается в следующем: 1) через данную прямую проводят вспомогательную плоскость и строят линию пересечения этой плоскости и данной плоскости; 2) устанавливают взаимное положение данной прямой и прямой пересечения плоскостей; найденное положение определяет взаимное положение данных прямой и плоскости. Для решения вопроса о взаимном положении плоскости и прямой мы применили способ вспомогательных плоскостей, которым часто пользуются при построениях, связанных со взаимным расположением различных поверхностей и линий с поверхностями. Подбор вспомогательных плоскостей обычно производят с таким расчетом, чтобы построения были как можно более простыми. Может оказаться, например, что плоскости горизонтальные или фронтальные, горизонтально- и фронтально-проецирующие, вообще весьма удобные в качестве вспомогательных, нельзя будет применить совсем или их применение вызовет усложнение построения даже по сравнению с плоскостями общего положения, взятыми в качестве вспомогательных. Решая ту или иную задачу с применением вспомогательных плоскостей, необходимо выбирать эти плоскости так, чтобы все возникающие при этом построения были возможно проще и чтобы этих построений было как можно меньше.  23. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПЛОСКОСТЬЮ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ОДНОЙ ИЛИ К ДВУМ ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекций, проецируется на последнюю в виде прямой линии. На этой прямой (проекции плоскости) должна находиться соответствующая проекция точки, в которой некоторая прямая пересекает такую плоскость1). На рис. 159 фронтальная проекция К" точки пересечения прямой АВ с треугольником СОЕ определяется в пересечении проекций А"В" и С"Е", так как треугольник проецируется на пл. 2 в виде прямой линий. Найдя точку К", определяем положение проекции К'. Так как прямая АВ в направлении от К к В находится под 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 159 Рис. 160 Рис. 162 ') Точку пересечения прямой с плоскостью называют также точкой встречи прямой с плоскостью. 64 треугольником, то на чертеже часть горизонтальной проекции прямой проведена штриховой линией. На рис. 160 фронтальный след пл.  является ее фронтальной проекцией. Проекция К" определяется в пересечении проекции А"В" и следа ". На рис. 161 дан пример построения проекций точки пересечения прямой с горизонтально-проецирующей плоскостью. Для большей наглядности изображают проекции отрезков прямой линии, пересекающей плоскость, одни -- сплошными линиями, другие -- штриховыми, руководствуясь при этом следующими соображениями: 1. Условно считают, что данная плоскость непрозрачна и точки и линии, лежащие хотя бы и в первой четверти, расположенные для зрителя за плоскостью, будут невидимыми; видимыми же будут точки и линии, расположенные по одну сторону плоскости со зрителем, который, как мы будем считать, находится в первом октанте и бесконечно далеко от соответствующей плоскости проекций. 2. Видимые отрезки линий вычерчиваются сплошными линиями, а невидимые -- штриховыми. 3. При пересечении прямой с плоскостью часть этой прямой делается для зрителя невидимой; точка пересечения прямой с плоскостью служит границей видимости линии. 4. Вопрос о видимости линии всегда можно свести к вопросу о видимости точек. При этом не только плоскость может закрывать точку, но и точка может закрывать другую точку (см. рис. 87). 5. Если несколько точек расположены на общей для них проецирующей прямой, то видимой будет только одна из них: а) по отношению к пл.  -- точка, наиболее удаленная от ,; б) по отношению к пл. 2 -- точка, наиболее удаленная от 2; в) по отношению к пл. 3 -- точка, наиболее удаленная  3. 6. Если чертеж содержит оси проекций, то для определения видимости точек, расположенных на общей для них проецирующей прямой, служат расстояния их соответствующих проекций от оси проекций: а) относительно пл.  видима точка, фронтальная проекция которой находится дальше от оси х; б) относительно пл. 2 видима точка, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси х; в) относительно пл. 3 видима точка, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси у. Как надо поступать в случае, если чертеж не содержит осей проекций? Рассмотрим рис. 162. Точки 1 к 2 двух скрещивающихся прямых расположены на общей для них проецирующей прямой, перпендикулярной к пл. 2, а точки 3 и 4 -- на проецирующей прямой, перпендикулярной к пл. п1. Точка пересечения горизонтальных проекций данных прямых представляет собой слившиеся проекции двух точек, из которых точка 4 принадлежит прямой AB, а точка 3 -- прямой CD. Так как 3"3' > 4"4', то видима относительно пл. 1 точка 3, принадлежащая прямой CD, а точка 4 точкой 3 закрыта. Так же и точка пересечения фронтальных проекций прямых AB и CD представляет собой слившиеся проекции двух точек / и 2, из которых точка 1 принадлежит прямой AB, а точка 2 - прямой CD. Так как 1'1" > 2'2", то видима относительно пл. 2 точка 1, закрывающая собой точку 2. Это -- общий способ: так можно поступать и на чертежах с осями проекций.  24. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей, вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим плоскостям. Так, прямая К1К2 (рис. 163), по которой пересекаются между собой плоскость, заданная треугольником ABC, и пл. , заданная прямыми DE и DF, проходит через точки  и К2, но в этих точках 0x01 graphic 65 прямые АВ и АС первой плоскости пересекают пл. , т.е. точки К  и Кг принадлежат, обеим плоскостям. Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти какие-либо две точки, комедия из которых принадлежит обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей. Для нахождения каждой из таких двух точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна к плоскости проекций, то построение проекций линии пересечения упрощается. Начнем с такого случая. На рис. 164 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна (заданная треугольником DEF) расположена перпендикулярно к пл. п2. Так как треуголь-шк,ОЕР проецируется на пл. 2 в виде прямой линии (D"F"), то фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются оба треугольника, представляет собой отрезок К'[К'2 на проекции D"F". Дальнейшее построение ясно из чертежа. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 165 Другой пример дан на рис. 165. Горизонтально-проецирующая плоскость  пересекает плоскость треугольника ABC. Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей -- отрезок M'N' -- определяется на следе '. Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей. Пусть одна из плоскостей, , задана двумя пересекающимися прямыми, а другая, ,-- двумя параллельными прямыми. Построение показано на рис. 166. В результате взаимного пересечения плоскостей  и  получена прямая К1К2. Выразим это записью: · = 12· Для определения положения точек К1 и К2 возьмем две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости ( 1, и 2), пересекающие каждую из плоскостей  и . При пересечении плоскостей  и  плоскостью 1 получаем прямые с проекциями 1"2", 1'2' и 3"4", 3'4'. Эти прямые, расположенные в пл.  1, в своем пересечении определяют первую точку, К1, линии пересечения плоскостей  и . Введя, далее, пл. 2, получаем в ее пересечении с  и  прямые с проекциями 5"б", 5'6' и 7"8", 7'8'. Эти прямые, расположенные в пл. а2, в своем пересечении определяют вторую точку, К2, общую для  и . Получив проекции К1' и К'2, находим на следах  "1 и  "2 проекции К"1 и К "2. Этим определяются проекции К'1К '2 и К"1К"2 искомой прямой пересечения плоскостей  и  (проекции проведены штрихпунктирной линией). 66 При построении можно иметь в виду следующее: так как вспомогательные секущие плоскости  1 и 2 взаимно параллельны, то, построив проекции 1'2', и 3'4', следует для проекций 5'6' и 7'8' взять по одной точке, хотя бы 5 и 8, так как 5'6' || Г2' и 7'8' % 3'4'. В рассмотренном построении были взяты в качестве вспомогательных две фронтально-проецирующие плоскости. Конечно, можно было взять и иные плоскости, например две горизонтальные или одну горизонтальную, другую фронтальную и т. д. Сущность построений от этого не меняется. Однако может встретиться такой случай. Положим, что были взяты в качестве вспомогательных две горизонтальные плоскости и полученные при пересечении ими 0x01 graphic плоскостей  и  горизонтали оказались взаимно параллельными. Но рис. 167 показывает, что  и  пересекаются между собой, хотя их горизонтали параллельны. Следовательно, получив взаимно параллельные горизонтальные проекции горизонталей AB и CD и зная, что плоскости при этом не обязательно параллельны, а могут пересекаться (по общей для них горизонтали), надо испытать плоскости  и  при помощи хотя бы горизонтально-проецирующей плоскости (см. рис. 167); если прямые, по которым эта вспомогательная плоскость  пересечет  и , также оказались бы параллельны одна другой, то плоскости  и  не пересекаются, а параллельны одна другой. На рис. 167 эти прямые пересекаются в точке К, через которую и проходит линия пересечения плоскостей  и  параллельно прямым BA и CD. Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций, то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей (рис. 168): прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т. е. их линией пересечения. 67 Схему построения линии пересечения двух плоскостей (см. рис. 166) можно, конечно, распространить и на случай задания плоскостей их следами. Здесь роль вспомогательных секущих плоскостей исполняют сами плоскости проекций: 0x01 graphic Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей  (рис. 168) надо: 1) найти точку М' в пересечении следов h'0 и h'0 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 171 и точку N" в пересечении f"o и f"o, а по ним -- проекции М" и N'; 2) провести прямые линии M"N" и M'N'. На рис. 169--171 показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лишь одну точку от пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов. ВОПРОСЫ К  22-24 1. Какое взаимное положение могут занимать две плоскости? 2. Каков признак параллельности двух плоскостей? 3. Как взаимно располагаются фронтальные следы двух параллельных между собой фронтально-проецирующих плоскостей? 68 4. Как взаимно располагаются горизонтальные следы двух параллельных между собой горизонтально-проецирующих плоскостей? 5. Как взаимно располагаются одноименные следы двух параллельных между собой плоскостей? 6. Служит ли признаком взаимного пересечения двух плоскостей пересечение хотя бы одной пары их одноименных следов? 7. Как установить взаимное положение прямой и плоскости? 8. Как строится точка пересечения прямой линии ч плоскостью, перпендикулярной к одной или к двум плоскостям проекций? 9. Какая точка из числа расположенных на общем перпендикуляре к а) пл. , б) пл. bj считается видимой соответственно на , на 2? 10. Как строится линия пересечения двух плоскостей, из которых хотя бы одна перпендикулярна К ПЛ. 1 ИЛИ К ПЛ.  2? В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух плоскостей?  25. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПЛОСКОСТЬЮ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения надо выполнить следующее (рис. 158): 1) через данную прямую (АВ) провести некоторую вспомогательную плоскость (ос), 2) построить прямую () пересечения плоскости данной () и вспомогательной (ос), 3) определить положение точки (К) пересечения прямых -- данной (АВ) и построенной (). На рис. 172 показано построение точки пересечения прямой FK с плоскостью общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми АВ и CD, 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 172 Рис. 173 Через прямую FK проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость . Выбор фронтально-проецирующей плоскости объясняется удобством построения точек пересечения ее фронтального следа с проекциями А"В" и С"D". По точкам М" и " найдены горизонтальные проекции М' и ' и тем самым определена прямая , по которой вспомогательная пл.  пересекает данную пл. . Затем найдена точка К', в которой горизонтальная проекция прямой непосредственно или 69 при своем продолжении пересекает проекцию M'N'. После этого остается найти фронтальную проекцию точки пересечения -- точку К". На рис. 173 показано построение точки пересечения прямой MN с плоскостью, заданной треугольником ABC. Ход построения не отличается от рассмотренного на рис. 172. Но вспомогательная (на этот раз горизонтально-проецирующая) плоскость в данном .случае указана только одним следом ', проходящим через проекцию M'N'. Пл.  пересекает ABC no прямой DE. Но можно обойтись и без ': мысленно представляя себе вспомогательную.горизонтально-проецирующую плоскость, проходящую через , выражаем проекциями E'D' и E"D" отрезок ED, по которому проведенная через MN горизонтально-проецирующая плоскость пересекает треугольник. Считая, что в пространстве заданы прямая и непрозрачный треугольник, определим видимые и невидимые части прямой MN относительно плоскостей  1 и 2. В точке  на пл.  1 совмещаются горизонтальные проекции двух точек, из которых одна принадлежит прямой MN (фронтальная проекция E"1), а другая -- стороне треугольника А С (фронтальная проекция E"). Из расположения фронтальных проекций Е'1 и Е" следует, что на участке КМ прямая находится над треугольником и, следовательно, на горизонтальной проекции отрезок М'К' -- весь видимый, а отрезок K'D' -- невидимый. На фронтальной проекции в точке F" совмещаются фронтальные проекции двух точек, из которых одна принадлежит прямой MN, а другая -- стороне треугольника АВ. По расположению горизонтальных проекций F' и F( заключаем, что прямая MN на участке  К находится за треугольником и, следовательно, на фронтальной проекции отрезок F"K" -- невидимый, а отрезок K"N" -- видимый. На рис. 174-- 176 даны примеры построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения, выраженной следами. В первом примере через прямую AB проведена горизонтально-проецирующая пл. , а во втором (рис. 175) -- горизонтальная плоскость, что оказалось 'возможным сделать, так как в этом примере прямая AB -- горизонтальная. 0x01 graphic 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 176 Изображенная на рис. 176 прямая перпендикулярна к пл. ,. Горизонтальные проекции всех точек этой прямой сливаются в одну точку. Следовательно, положение проекции К' искомой точки пересечения прямой AB с пл.  известно. Положение проекции К" определено при помощи горизонтали.  26. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПО ТОЧКАМ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ С ПЛОСКОСТЬЮ В  24 был изложен общий способ построения линии, пересечения двух плоскостей, а именно применение вспомогательных секущих плоскостей (см. рис. 166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям общего положения. Этот способ заключается  том, что находят точки пересечения двух 70 прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Следовательно, надо уметь строить точку пересечения прямой линии с плоскостью общего положения, что изложено в  25. На рис. 177 показано пересечение треугольника ABC плоскостью, заданной двумя параллельными прямыми (DE \\ FG). Построение свелось к построению точек ki и К2, в которых прямые DE и F G пересекают плоскость треугольника, и к проведению через эти точки отрезка прямой линии. Представляя себе, что через DE и FG проведены фронтально-проецирующие плоскости, находим параллельные прямые, по которым эти плоскости пересекают треугольник. Одна из них выражена проекциями 1' 2' и 1" 2"; для другой показана одна точка 3", 3', через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно проекции 1 2'. Определив положение проекций  и К'2, находим проекции К'[ и К2 и проекции отр. К1К2. Конечно, и в рассмотренном случае применим общий способ (см. рис. 166), но пришлось бы провести больше линий, чем это сделано на рис. 177. На рис. 178 дано построение линии пересечения двух треугольников ABC и DEF с указанием видимых и невидимых участков этих треугольников. Прямая KiK2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника ABC с плоскостью треугольника DEF. Вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость, проведенная через А С (на чфтеже эта плоскость особо не обозначена), пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 1"2" и 1'2'; в пересечении проекций А'С' и 1'2' получена горизонтальная проекция точки Kt пересечения прямой АС и треугольника DEF, затем построена фронтальная проекция К"1. Так же .найдена и точка К2, В примерах на рис. 177 и 178 мы встретились с вопросом о разделении плоских фигур на части, видимые и невидимые для зрителя, так как плоскости считаются 0x01 graphic с0x01 graphic ( -.·-0x01 graphic Рис.178 Рис.179 непрозрачными. На чертежах это показано при помощи штриховки соответствующих частей треугольников ABC. Видимость определена на основании таких же рассуждений, какие имели место в примере, рассмотренном на рис. 173. На рис. 179 приведен еще один пример построения линии пересечения двух треугольников. В данном случае с одинаковым основанием можно считать, что треугольник ABC проходит в прорезь в треугольнике DEF или треугольник DEF проходит в прорезь в треугольнике ABC: надо лишь условиться, в каком из треугольников считать эту прорезь по прямой КгК2. Между тем в случае, приведенном на рис. 178, прорезь только в треугольнике DEF и треугольник ABC проходит через нее. Самое построение на рис. 179 сводится к нахождению точки К, и точки N 2 при помощи фронтально-проецирующих плоскостей 1, и 2. Следует еще раз обратить внимание на то, что применение штриховых линий вместо сплошных, например на рис. 159, 161, 164, 165, 173--179, подсказано желанием сделать изображения более наглядными. Если исходить из понятия о проекции как геометрическом образе, то вопрос о "прозрачности" или "непрозрачности", о "видимости" и "невидимости" отпал бы: все надо было бы изображать сплошными линиями. Но для придания чертежам наглядности введены некоторые условности, в том числе штриховые линии. ВОПРОСЫ К  25-26 1. В чем заключается в общем случае способ построения точки пересечения прямой с, плоскостью? 2. Какие действия и в какой последовательности надо выполнить для построения этой точки (см. вопрос 1)? 3. Как определить "видимость" при пересечении прямой с плоскостью? 4. Как можно построить прямую пересечения двух плоскостей, если не применять общего способа, описанного в  24? 5. Как определить "видимость" в случае взаимного пересечения двух плоскостей? 6. Чем отличаются случаи, рассмотренные на рис. 178 и 179?  27. ПОСТРОЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ МЕЖДУ СОБОЙ Построение прямой, параллельной заданной плоскости, основано на следующем положении, известном из геометрии: прямая параллельна плоскости, если эта прямая параллельна любой прямой в плоскости. Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий, параллельных заданной плоскости: Для получения единственного решения требуется какое-нибудь дополнительное условие. Например, через точку  (рис. 180) требуется провести прямую, параллельную плоскости, заданной треугольником ABC, и плоскости проекций ! (дополнительное условие). Очевидно, искомая прямая должна быть параллельна линии пересечения обеих плоскостей, т.е. должна быть параллельна горизонтальному следу плоскости, заданной треугольником ABC. Для определения направления этого следа можно воспользоваться горизонталью плоскости, заданной треугольником ABC. На рис. 180 проведена горизонталь DC и затем через точку M проведена прямая, параллельная этой горизонтали. Поставим обратную задачу: через заданную точку провести плоскость, параллельную заданной прямой линии. Плоскости, проходящие через некоторую точку А параллельно некоторой прямой ВС, образуют пучок плоскостей, осью которого является прямая, проходящая через точку А параллельно прямой ВС. Для получения единственного решения требуется какое-либо дополнительное условие. 72 Например, надо провести плоскость, параллельную прямой CD, не через точку, а через прямую АВ (рис. 181). Прямые АВ и CD - скрещивающиеся. Если через одну из двух скрещивающихся прямых требуется провести плоскость, параллель- 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 180 Рис. 181 ную другой, то задача имеет единственное решение. Через точку В проведена прямая, параллельная прямой CD; прямые АВ и BE определяют плоскость, параллельную прямой CD. Как установить, параллельна ли данная прямая данной плоскости? Можно попытаться провести в этой плоскости некоторую прямую параллельно данной прямой. Если такую прямую в плоскости не удается построить, то заданные прямая и плоскость не параллельны между собой. Можно попытаться найти также точку пересечения данной прямой с данной плоскостью. Если такая точка не может быть найдена,, то заданные прямая и плоскость взаимно параллельны.  28. ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ Пусть дается точка К, через которую надо провести плоскость, параллельную некоторой плоскости, заданной пересекающимися прямыми AF и BF (рис. 182). Очевидно, если через точку К провести прямые СК и DK, соответственно параллельные прямым AF и BF, то плоскость, определяемая прямыми СК и DK, окажется параллельной заданной плоскости. Другой пример построения дан на рис. 183 справа. Через точку A проведена пл.  параллельно пл. а. Сначала через точку А проведена прямая, заведомо параллельная пл. . Это горизонталь с проекциями "" и '', причем A'N'\\ h'o. Таk 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 182 Рис. 183 как точка N является фронтальным следом горизонтали AN, то через эту точку пройдет след f"o% f"o,, а через Х - след h'o || h'o. Плоскости  и  взаимно параллельны, так как их одноименные пересекающиеся следы взаимно параллельны. 73 На рис. 184 изображены две параллельные между собой плоскости -- одна га них задана треугольником ЛВС, другая -- параллельными прямыми DE и FG. Чем же устанавливается параллельность этих плоскостей? Тем, что в плоскости, заданной прямыми DE и FG, оказалось возможным провести две пересекающиеся 0x01 graphic Рис. 184 прямые KN и КМ, соответственно параллельные пересекающимся прямым АС и ВС другой плоскости. Конечно, можно было бы попытаться найти точку пересечения хотя бы прямой DE с плоскостью треугольника ABC. Неудача подтвердила бы параллельность плоскостей. ВОПРОСЫ К  27-28 1. На чем основано построение прямой линии, которая должна быть параллельна некоторой плоскости? 2. Как провести плоскость через прямую параллельно заданной прямой? 3. Чем определяется взаимная параллельность двух плоскостей? 4. Как провести через точку плоскость, параллельную заданной плоскости? 5. Как проверить на чертеже, параллельны ли одна другой заданные плоскости?  29. ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости, и рассмотрим свойства проекций такой прямой. На рис. 185 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми AN и AM, причем AN является горизонталью, a AM -- фронталью этой плоскости. Прямая АВ, изображенная на том же чертеже, перпендикулярна к AN и к AM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости. Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой-либо прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или профильной прямой плоскости. Поэтому, желая построить перпендикуляр к плоскости, берут в общем случае две такие прямые (например, горизонталь и фронталь, как это показано на рис. 185). Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция перпендику- 74 лярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости. Очевидно, в случае, когда плоскость выражена следами (рис. 186), мы получаем следующий вывод: если прямая перпендикулярна к плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу плоскости. Итак, если в системе ,, 2 горизонтальная проекция прямой перпендикулярна к горизонтальному следу и фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то в случае плоскостей общего положения (рис. 186), а также горизонталъно-и фронтально-проецирующих прямая перпендикулярна к плоскости. Но для профильно-проецирующей плоскости может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя 0x01 graphic проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно-проецирующей плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить, будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость. Очевидно (рис. 187), горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости сливается с горизонтальной проекцией линии ската, проведенной в плоскости через основание перпендикуляра. На рис. 186 из точки А проведен перпендикуляр к пл.  (А"С" % f"o, AC % h'o и показано построение точки Е, в которой перпендикуляр АС пересекает пл. . Построение выполнено с помощью горизонтально-проецирующей пл. , проведенной через перпендикуляр АЕ. На рис. 188 показано построение перпендикуляра к плоскости, определяемой треугольником ABC. Перпендикуляр'проведен через точку А. Так как фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна быть перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а его горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, то в плоскости через точку А проведены фронталь с проекциями A'D' и A"D" и горизонталь А"Е", А'Е'. Конечно, эти прямые не обязательно проводить именно через точку А. Далее проведены проекции перпендикуляра: M"N"% A"D", M'N'% A'E'. Почему проекции на рис. 188 на участках A"N" и А'М' показаны штриховыми линиями? Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником ABC, а не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед плоскостью, частично за ней. 75 0x01 graphic На рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно к прямой ВС. На рис. 189 плоскость выражена следами. Построение начато с проведения через точку А горизонтали искомой плоскости: так как горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен к В'С, то и горизонтальная проекция горизонтали должна быть перпендикулярна к В'С. Поэтому A'N'% В'С'. Проекция A"N" \\ оси х, как это должно быть у горизонтали. Затем проведен через точку " (" - фронтальная проекция фронтального следа горюонтали AN) след f"o% В"С", получена точка X, и проведен след h'o" II-4'-V' (h^LB'C). На рис. 190 плоскость определена ее фронталью AM и горизонталью AN. Эти прямые перпендикулярны к ВС (А"М"% В"С", A'N' % В'С); определяемая ими плоскость перпендикулярна к ВС. Так как перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к каждой прямой, проведенной в этой плоскости, то, научившись проводить плоскость перпендикулярно к прямой, можно воспользоваться этим для проведения перпендикуляра из некоторой точки А к прямой общего положения ВС. Очевидно, можно наметить следующий план построения проекций искомой прямой: 1) через точку А провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к ВС; 2) определить точку К пересечения прямой ВС с ил. ; соединить точки А и К отрезком прямой линии. Прямые АК и ВС взаимно перпендикулярны. Пример построения дан на рис. 191. Через точку А проведена плоскость (), перпендикулярная к ВС. Это сделано при помощи фронтали, фронтальная проекция 76 A"F" которой проведена перпендикулярно к фронтальной проекции В"С", и горизонтали, горизонтальная проекция которой перпендикулярна к В'С. Затем найдена точка К, в которой прямая ВС пересекает пл. . Для этого через прямую ВС проведена горизонтально-проецирующая плоскость  (на чертеже она задана только горизонтальным следом 1). Пл.  пересекает пл.  по прямой с проекциями 1'2' и 1 "2". В пересечении этой прямой с прямой ВС получается точка К. Прямая АК является искомым перпендикуляром к ВС. Действительно, прямая АК пересекает прямую ВС и находится в пл. , перпендикулярной к прямой ВС', следовательно, AKLBC. В  15 было показано (рис. 92), как можно провести перпендикуляр из точки на прямую. Но там это было выполнено при помощи введения в систему  1,2 дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3,  1, в которой пл. 3 проводится параллельно заданной прямой. Рекомендуем сравнить построения, данные на рис. 92 и 191, На рис. 192 изображены плоскость общего положения о, проходящая через точку A, и перпендикуляр AM к этой плоскости, продолженный до пересечения с пл. , в точке В'. Угол 1 между пл.  и пл. nt и угол  между прямой AM и пл.  являются острыми углами прямоугольного треугольника В'AM', и, следовательно, 1 +  = 90°. Аналогично, если пл.  составляет с пл. 2 угол ?, а прямая AM, перпендикулярная к о, составляет с пл. 2 угол ,  2 +  = 90°. Из этого, прежде всего, следует, что плоскость общего положения, которая должна составлять с пл.  угол ,, а с пл. 2 угол 2, может быть построена, лишь если 180° >1 +2>90°. Действительно, складывая почленно  +  = 90° и 2 +  = 90°, получим 1 + 2 +  +  = 180°, . е.  + 2 < 180°, а так как  +  < 90° (см. с. 33),  1 + 2 > 90°. Если взять :1 + 2 = 90°, то получится профильно-проецирующая плоскость, а если взять , + 2 = 180°, то получится профильная плоскость, т. е. в обоих этих случаях плоскость не общего положения, а частного.  30. ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ Построение плоскости , перпендикулярной к плоскости о, может быть произведено двумя путями: 1) пл.  проводится через прямую, перпендикулярную к пл. а; 2) пл.  проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в пл. ос или параллельной этой плоскости. Для получения единственного решения требуются дополнительные условия. На рис. 193 показано построение плоскости, перпендикулярной к плоскости, заданной треугольником CDE. Дополнительным условием здесь служит то, что искомая плоскость должна проходить через прямую АВ. Следовательно, искомая плоскость определяется прямой АВ и перпендикуляром к плоскости треугольника. Для проведения этого перпендикуляра к пл. CDE в ней взяты фрон- 0x01 graphic Рис. 193 Рис. 194 таль CN и горизонталь СМ: если B"F" % С"" и В'F'%С'М', то BF%пл. CDE. Образованная пересекающимися прямыми А В и ВF плоскость перпендикулярна к пл. CDE, так как проходит через перпендикуляр к этой плоскости. На рис. 194 горизонтально-проецирующая плоскость  проходит через точку К перпендикулярно к плоскости, заданной треугольником ABC. Здесь дополнительным условием явля- 77 лась перпендикулярность искомой плоскости сразу к двум плоскостям: к пл. ABC и к пл. ,. Поэтому и ответом служит горизонтально-проецирующая плоскость. А так как она проведена перпендикулярно к горизонтали AD, т. е. к прямой, принадлежащей пл. ABC, то пл.  перпендикулярна к пл. ABC. Может ли перпендикулярность одноименных следов плоскостей служить признаком перпендикулярности самих плоскостей? К очевидным случаям, когда это так, относится взаимная перпендикулярность двух горизонтально-проецирующих плоскостей, у которых горизонтальные следы взаимно перпендикулярны. Также это имеет место при взаимной перпендикулярности фронтальных следов фронтально-проецирующих плоскостей; эти плоскости взаимно перпендикулярны. Рассмотрим (рис. 195) горизонтально-проецирующую плоскость , перпендикулярную к плоскости общего положения а. Если пл.  перпендикулярна к пл.  1 и к пл. , то  % h'o как к линии пересечения пл.  и пл. ,. Отсюда h'o%  и, следовательно, h'o % ', как к одной из прямых в пл. . Итак, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения и горизонтально-проецирующей соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей. Очевидно, перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей. 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 196 Но если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то самые плоскости не перпендикулярны между собой, так как здесь не соблюдается ни одно из условий, изложенных в начале этого параграфа. В заключение рассмотрим рис. 196. Здесь имеет место случай взаимной перпендикулярности одноименных следов в обеих их парах и перпендикулярности самих плоскостей: обе плоскости особого (частного) положения -- профильная  и профильно-проецирующая   31. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ УГЛА МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ И МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ Если прямая не перпендикулярна к плоскости, то углом между прямой и плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на данной плоскости. Об углах между прямой и плоскостями проекций см,  13. На рис. 197 изображена прямая АВ, пересекающая пл, 0 в точке D; угол  образован отрезком BD данной прямой и проекцией B°D этого отрезка на пл. 0. 78 Построение проекций угла между прямой АВ и некоторой пл.  выполнено на рис. 198. Пл.  задана ее горизонталью (проекции Р"Н" и Р'Н') и фронталью (проекции P"F" и PF). Построение выполнено в следующем порядке: а) найдена точка D пересечения прямой АВ с пл. о, для чего через АВ проведена горизонтально-проецирующая плоскость ; б) из точки А проведен перпендикуляр к пл. а; в) найдена точка  пересечения этого перпендикуляра с пл.' ос, для чего проведена горизонтально-проецирующая плоскость ; г) через точки D" и Е", D' и  проведены прямые, чем определяются проекции прямой АВ на пл. . 0x01 graphic 0x01 graphic Рис. 197 Рис. 198 Угол A"D"E" представляет собой фронтальную проекцию угла между АВ и пл. , а угол A'D Е' -- горизонтальную проекцию этого угла. Построение проекции угла между прямой и плоскостью значительно упрощается, если плоскость не является плоскостью общего положения, так как в подобных случаях точка пересечения заданной прямой с плоскостью определяется без дополнительных построений. 0x01 graphic 0x01 graphic Две пересекающиеся между собой плоскости образуют четыре двугранных угла. Ограничиваясь рассмотрением угла между  и , показанного на рис. 199, построим его линейный угол, для чего пересечем ребро  двугранного угла плоскостью , перпендикулярной к . Построение проекций линейного угла выполнено на рис. 200. Пл. ос задана треугольником , пл.  -- треугольником . а) Построена пл.  % , проходящая через точку N (пл.  задана ее фронталью NF и горизонталью ). 79 б) Построена линия пересечения плоскостей  и  (прямая E); так как пл.  проведена через точку N пл. о, то надо найти только точку Е, для чего взята вспо- могательная плоскость . в) Найдена линия пересечения плоскостей  и  (прямая NG); здесь также надо было найти только точку G (вспомогательная пл. ). Точка N является вершиной искомого линейного угла, угол E'N'G' представляет собой горизонтальную проекцию этого угла, угол E'N"G" -- его фронтальную проекцию. На рис. 195 построены проекции линейного угла, измеряющего двугранный угол, образуемый пл.  с плоскостью проекций к,. Так как для получения линейного угла надо провести плоскость, перпендикулярную к ребру двугранного угла, то для получения утла наклона пл.  к пл. , проведена пл. , перпендикулярная к следу h'o. Аналогично, для получения угла между пл.  и пл. 2 надо было бы провести плоскость перпендикулярно к. следу f"o. На рис. 195 фронтальной проекцией искомого угла является угол ""', а горизонтальная проекция угла совпадает со следом ". Величина угла может быть определена построением прямоугольного,треугольника по катетам "' и ''. ВОПРОСЫ К  29-31 1. Как располагаются проекции перпендикуляра к плоскости? 2. Как взаимно располагаются горизонтальные проекции перпендикуляра к плоскости в ее линии ската, проведенной через точку пересечения перпендикуляра с плоскостью? 3. Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой (через точку на прямой и через точку вне прямой)? 4. Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения (при помощи плоскости, перпендикулярной к прямой, и при помощи введения в систему к,, я- дополнительной плоскости проекций)? 5. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости? 6. В каких случаях взаимная перпендикулярность одной пары одноименных следов плоскостей соответствует взаимной перпендикулярности самих плоскостей? 7. В каком случае в системе 1,2 взаимная перпендикулярность плоскостей выражается взаимной перпендикулярностью фронтальных следов? В каком случае в системе ·, л2 взаимная перпендикулярность плоскостей выражается взаимной перпендикулярностью горизонтальных следов? 8. Перпендикулярны ли плоскости общего положения одна к другой, если их одноименные следы взаимно перпендикулярны? 9. Что называется углом между прямой и плоскостью и какие действия надо выполнить для построения на чертеже проекций этого угла? Какие действия надо выполнить для построения на чертеже проекций линейного угла для данного двугранного? ГЛАВА V. СПОСОБЫ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ И ВРАЩЕНИЯ  32. ПРИВЕДЕНИЕ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ И ПЛОСКИХ ФИГУР В ЧАСТНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ Задание прямых линий и плоских фигур в частных положениях относительно плоскостей проекций (см. 11, 19) значительно упрощает построения и решение задач, а подчас позволяет получить ответ или непосредственно по данному чертежу, или при помощи простейших построений. Например, определение расстояния точки А до горизонтально-проецирующей плоскости (рис. 201), заданной треугольником BCD, сводится к проведению перпендикуляра из проекции А' к проекции, выраженной отрезком B'D'. Искомое расстояние определяется отрезком А'К'. Излагаемые в настоящей главе способы дают возможность переходить от общих положений прямых линий и плоских фигур в системе 1, 2 к частным в той же системе или в дополнительной. Достигается это: 1) введением дополнительных плоскостей проекций так, чтобы прямая линия или плоская фигура, не изменяя своего положения в пространстве, оказалась в каком-либо частном положении в новой системе плоскостей проекций (способ перемены плоскостей проекций); 2) изменением положения прямой линии или плоской фигуры путем поворота вокруг некоторой оси так, чтобы прямая или фигура оказалась в частном положении относительно неизменной системы плоскостей проекций (способ вращения и частный случай его -- способ совмещения). Введение дополнительных 'плоскостей проекций в систему 1; 2 рассматривалось в  8, а примеры построений в дополнительных системах были приведены в  13 и 15. Теперь рассмотрим это подробнее.  33. СПОСОБ ПЕРЕМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ 1) Общие сведения. Сущность способа перемены плоскостей проекций2) заключается в том, что положение точек, линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система 1, 2 дополняется плоскостями, образующими с 1 или 2, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций. 0x01 graphic Рис. 2011) Мы применяем распространенное название "перемена плоскостей проекций", но на самом деле плоскости проекций  и - остаются и лишь вводятся дополнительные плоскости проекций. · 2) Впервые на русском языке способ перемены плоскостей проекций был изложен И. И. Сомовым в его книге "Начертательная геометрия", 1862. Затем этот вопрос получил более подробное и углубленное освещение в трудах Н. И. Макарова и В. И. Курдюмова. Каждая новая система выбирается так, чтобы получить положение, наиболее удобное для выполнения требуемого построения. . В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разрешающей задачу, бывает достаточно ввести только одну плоскость, например 3% 1 или 4%2; при этом пл. 3 окажется горизонтально-проецирующей, а пл. 4 -фронтально-проецирующей. Если введение одной плоскости, 3 или 4, не позволяет разрешить задачу, то прибегают к последовательному дополнению основной системы плоскостей проекций новыми: например, вводят плоскость 3% 1, получают первую новую систему -- 3, 1, а затем от этой системы переходят ко второй новой системе, вводя некоторую пл. 4% 3. При этом пл. 4 оказывается плоскостью общего положения в основной системе 1, 2. Таким образом, производится последовательный переход от системы 1  2 к системе 3, 4 через промежуточную систему 3, 1. Если "плоскости 3 и 4 все же не разрешают вопроса полностью, можно перейти к третьей новой системе, вводя еще одну плоскость, перпендикулярную к 4. При построениях в новой системе плоскостей проекций соблюдаются те же условия относительно положения зрителя, которые были установлены для системы плоскостей 1 и 2 (см.  7). Ось проекций будем отмечать записью в виде дроби, считая,